Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:
\(\frac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}=\sqrt{a^2+2}+\frac{1}{\sqrt{a^2+2}}\ge2\)
Dấu "=" xr khi \(\sqrt{a^2+2}=\frac{1}{\sqrt{a^2+2}}\Leftrightarrow a^2+2=1\left(vn\right)\)=> dấu "=" ko xra
=> \(\frac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}>2\forall a\)
a,Có \(\frac{a+8}{\sqrt{a-1}}\ge6\) (a>1) (1)
<=> \(a+8\ge6\sqrt{a-1}\)
<=> \(a^2+16a+64\ge36a-36\)
<=> \(a^2-20a+100\ge0\)
<=> \(\left(a-10\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a)
Dấu "="xảy ra <=> a=10
=> (1) đc CM
b, Áp dụng bđt cosi với hai số dương có
\(\sqrt{a^2+1}\le\frac{a^2+1+1}{2}=\frac{a^2+2}{2}\)
=> \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge\frac{a^2+2}{\frac{a^2+2}{2}}=\frac{2\left(a^2+2\right)}{a^2+2}=2\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=0
a)\(\sqrt{x}+1>\sqrt{x+1}\) (x>0)
Có:\(\left(\sqrt{x}+1\right)^2=x+2\sqrt{x}+1\left(1\right)\) (x>0)
\(\sqrt{\left(x+1\right)^2}=x+1\) (2) (x>0)
từ (1) và (2) =>(đpcm)
b)\(\sqrt{x^2+1}>x\)
Có:\(\sqrt{\left(x^2+1\right)^2}=x^2+1\left(1\right)\)
x2=x2 (2)
Từ (1) và (2) =>(đpcm)
c)\(\frac{1}{2}+a+b\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\left(a,b\ge0\right)\)
Vì a,b >or= 0
=>\(a+b\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}+a+b\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\) (đáng lẽ 1/2+a+b> mới phải)
\(\dfrac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}=\dfrac{a^2+2+1}{\sqrt{a^2+2}}=\sqrt{a^2+2}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}\ge2\cdot\sqrt{\left(\sqrt{a^2+2}\right)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}}=2\)
a) Bất đẳng thức đúng khi a = b = 2c
do đó \(\sqrt{c\left(2c-c\right)}+\sqrt{c\left(2c-c\right)}\le n\sqrt{2c.2c}\Leftrightarrow n\ge1\)
xảy ra khi n = 1
Thật vậy, ta có :
\(\sqrt{\frac{c}{b}.\frac{a-c}{a}}+\sqrt{\frac{c}{a}.\frac{b-c}{b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{b}+\frac{a-c}{a}+\frac{c}{a}+\frac{b-c}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
Vậy n nhỏ nhất là 1
b) Ta có : a + b = \(\sqrt{\left(a+b\right)^2}\le\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2}=\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
Áp dụng, ta được : \(\sqrt{1}+\sqrt{n}\le\sqrt{2\left(n+1\right)},\sqrt{2}+\sqrt{n-1}\le\sqrt{2\left(1+n\right)},...\)
\(\sqrt{n}+\sqrt{1}\le\sqrt{2\left(1+n\right)};\sqrt{n-1}+\sqrt{2}\le\sqrt{2\left(1+n\right)},...\)
\(\sqrt{1}+\sqrt{n}\le\sqrt{2\left(1+n\right)}\)
do đó : \(4\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}\right)\le2n\sqrt{2\left(1+n\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}\le n\sqrt{\frac{n+1}{2}}\)
BĐT\(\Leftrightarrow a^2+3>2\sqrt{a^2+2}\left(\sqrt{a^2+2}\ge\sqrt{0+2}>0\right)\)
\(dat:a^2+2=x\)
\(\Rightarrow BĐT\Leftrightarrow x+1>2\sqrt{x}\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2>4x\left(2\sqrt{x}\ge0\right)\Leftrightarrow x^2+2x+1-4x>0\Leftrightarrow x^2-2x+1>0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2>0\) \(x=a^2+2;a^2\ge0\Rightarrow a^2+2\ge2\Leftrightarrow x\ge2\Rightarrow x-1\ge1\Rightarrow\left(x-1\right)^2>0\)
nen BĐT đuoc chung minh
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(\frac{a^2+3}{\sqrt{1\left(a^2+2\right)}}\ge\frac{a^2+3}{\left(\frac{a^2+2+1}{2}\right)}=\frac{2\left(a^2+3\right)}{a^2+3}=2\)
Nhưng dấu "=" ko xảy ra nên ta có đpcm,