TL
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
17 tháng 9 2017
Ta có a và b không âm nên
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{a+b}{4}=\frac{a+b}{2}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\ge\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\)(bất đẳng thức cô - si)
Cần chứng minh \(\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\). Xét hiệu hai vế
\(\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)-\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}-\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left[\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\)
Xảy ra đẳng thức \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4}\)hoặc\(a=b=0\)
25 tháng 8 2018
Bạn theo đường link này là ra
https://olm.vn/hoi-dap/question/1043868.html
P/s hok tốt
DF
1
9 tháng 8 2019
<=> \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
<=> \(a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
<=. \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng )
dấu = khi a=b
M
14 tháng 8 2020
Ta có : \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) (1)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(2)
Bất đẳng thức 2 luôn đúng với \(\forall x\),vậy nên bất đẳng thức 1 cũng luôn đúng với mọi x .
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left(a-b\right)^2=0\)
=> a-b=0 => a=b
Vậy BDT \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) xảy ra khi a = b
áp dụng ta có :
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\left(1\right)\)
\(\frac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\left(2\right)\)
\(\frac{a+c}{2}\ge\sqrt{ca}\) (3)
từ 1,2,3 cộng từng ba bất đẳng thức ta được : \(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+b+c+c+a}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
Mở rộng kết quả cho 4 số a,b,c,d không âm ta có bất đẳng thức :
\(a+b+c+d\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}\)
Mở rộng kết quả cho 5 số a,b,c,d,e không âm ta có bất đẳng thức :
\(a+b+c+d+e\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{de}+\sqrt{ea}\)
14 tháng 8 2020
Ta có: \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng \(\forall a,b\ge0\))
Ta có: \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\forall a,b\ge0\)
\(\frac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\forall b,c\ge0\)
\(\frac{c+a}{2}\ge\sqrt{ac}\forall a,c\ge0\)
Do đó: \(\frac{a+b+b+c+c+a}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\forall a,b,c\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\forall a,b,c\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\forall a,b,c\ge0\)(đpcm)
MK
13 tháng 6 2017
PP: Dùng tương đương thần chưởng !!!
Ý tưởng : Chứng minh 1/\sqrt{1+a^2} + 1/\sqrt{1+b^2} >= 2/\sqrt{1+ab} >= 2/\sqrt{ 1+ (a+b)^2/4 }
._. Bạn biết đăng hình ảnh lên đây không mình làm ra rùi chụp cho (:
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 6 2019
a/
\(=\frac{a+b}{b^2}.\frac{\left|a\right|.b^2}{\left|a+b\right|}=\frac{\left(a+b\right).b^2.\left|a\right|}{b^2\left(a+b\right)}=\left|a\right|\)
b/
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}-\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\frac{4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{4\sqrt{ab}+4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\frac{2\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
10 tháng 6 2019
a)\(\sqrt{x}+1>\sqrt{x+1}\) (x>0)
Có:\(\left(\sqrt{x}+1\right)^2=x+2\sqrt{x}+1\left(1\right)\) (x>0)
\(\sqrt{\left(x+1\right)^2}=x+1\) (2) (x>0)
từ (1) và (2) =>(đpcm)
b)\(\sqrt{x^2+1}>x\)
Có:\(\sqrt{\left(x^2+1\right)^2}=x^2+1\left(1\right)\)
x2=x2 (2)
Từ (1) và (2) =>(đpcm)
c)\(\frac{1}{2}+a+b\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\left(a,b\ge0\right)\)
Vì a,b >or= 0
=>\(a+b\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}+a+b\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\) (đáng lẽ 1/2+a+b> mới phải)
30 tháng 6 2021
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a+\sqrt{b}}\mp\sqrt{a-\sqrt{b}}\right)^2=\left(\sqrt{2\left(a\mp\sqrt{a^2-b}\right)}\right)^2\Leftrightarrow a+\sqrt{b}+a-\sqrt{b}\mp2\sqrt{\left(a+\sqrt{b}\right)\cdot\left(a-\sqrt{b}\right)}=2a\mp2\sqrt{a^2-b}\Leftrightarrow2a\mp2\sqrt{a^2-b}=2a\mp2\sqrt{a^2-b}\) (luôn đúng) \(\Rightarrowđpcm\)