Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\frac{1}{2^3}< \frac{1}{1.2.3}\)
\(\frac{1}{3^3}< \frac{1}{2.3.4}\)
....
\(\frac{1}{n^3}< \frac{1}{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}\)
Ta có:
\(\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)+\left(c^2+a^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\frac{1}{3}< \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\)
\(< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
\(=1-\frac{1}{n}\)
\(< 1\)
Ta có :
\(\frac{1}{n+1}>\frac{1}{n+n}=\frac{1}{2n}\)
\(\frac{1}{n+2}>\frac{1}{n+n}=\frac{1}{2n}\)
\(\frac{1}{n+3}>\frac{1}{n+n}=\frac{1}{2n}\)
......................
\(\frac{1}{n+n}=\frac{1}{n+n}=\frac{1}{2n}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+....+\frac{1}{n+n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+....+\frac{1}{2n}\)( có n số \(\frac{1}{2n}\) )
\(\Rightarrow\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+....+\frac{1}{n+n}>\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}\) ( đpcm )
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+c}=\frac{bc+ca+ab}{abc}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(bc+ca+ab\right)=abc\)
\(\Rightarrow abc+a^2c+a^2b+b^2c+abc+ab^2+bc^2+ac^2+abc=abc\)
\(\Rightarrow2abc+a^2c+a^2b+b^2c+ab^2+bc^2+ac^2=0\)
\(\Rightarrow\left(abc+a^2b\right)+\left(ac^2+a^2c\right)+\left(b^2c+b^2a\right)+\left(bc^2+abc\right)=0\)
\(\Rightarrow ab\left(a+c\right)+ac\left(a+c\right)+b^2\left(a+c\right)+bc\left(a+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(ab+ac+b^2+bc\right)\left(a+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[\left(ab+ac\right)+\left(b^2+bc\right)\right]\left(a+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=0\)
Do đó trong a , b , c luôn có 2 số đối nhau.
Phần 2 : Do vai trò a , b , c như nhau nên coi \(a=-b\)( Do có 2 số đối nhau)
\(\Rightarrow a^n=-b^n\)(Vì n lẻ )
\(\Rightarrow\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{a^n+b^n}{a^n.b^n}+\frac{1}{c^n}=0+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n}\)
\(\frac{1}{a^n+b^n+c^n}=\frac{1}{\left(a^n+b^n\right)+c^n}=\frac{1}{0+c^n}=\frac{1}{c^n}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}\)
Vậy ...
Lời giải:
Chứng minh vế thứ nhất:
Với mọi số tự nhiên $i< n$ ta có: $\frac{1}{n+i}> \frac{1}{n+n}$. Thay $i=1,2,...$ ta có:
$\frac{1}{n+1}>\frac{1}{n+n}$
$\frac{1}{n+2}>\frac{1}{n+n}$
.....
Do đó: $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}>\frac{1}{n+n}+\frac{1}{n+n}+...+\frac{1}{n+n}=\frac{n}{n+n}=\frac{1}{2}$
(đpcm)
Vế thứ hai có vẻ không đúng lắm, vì $n$ càng tăng thì giá trị của tổng càng tăng theo nên mình nghĩ khi $n$ tiến tới vô cực thì tổng trên cũng vượt khỏi $\frac{3}{4}$