Question

[The Sunshine]

Chứng tỏ rằng có một số tự nhiên mà bốn chữ số cuối của số đó là 2012 chia hết cho 2013

Answer 1

[Đào Minh Nhật]

Xét dãy 2014 số 2012;20122012;...;20122012...2012(2014 bộ)

Vì có 2014 số mà khi chia cho 2013 chỉ có thể nhận 2013 số dư nên có 2 số trong dãy cùng số dư khi chia cho 2013

Giả sử 2 số đó là 20122012...2012(n bộ;0<n<2015) và 20122012...2012(m bộ;0<m<2015) với n>m

Khi đó 20122012...2012-20122012...2012 chia hết cho 2013

                n                   m

<=>20122012...2012  00...0 chia hết cho 2013

         n-m                    4m

<=>20122012...2012*(10^(4m)) chia hết cho 2013

Mà (10^(4m);2013)=1

=>20122012...2012 chia hết cho 2013 (đpcm)