TT
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
17 tháng 7 2019
Bài 1:
Theo BĐT AM-GM có :$(x+y+1)(x^2+y^2)+\dfrac{4}{x+y}\geq (x+y+1).2xy+\dfrac{4}{x+y}=2(x+y+1)+\dfrac{4}{x+y}=(x+y)+(x+y)+\dfrac{4}{x+y}+2\geq 2\sqrt{xy}+2\sqrt{(x+y).\dfrac{4}{x+y}}+2=2+4+2=8$(đpcm)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(x=y, xy=1\) và \(x+y=2\) hay \(x=y=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2019
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(x^2+y^2\geq 2xy=2\Rightarrow (x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq 2(x+y+1)+\frac{4}{x+y}(1)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:
\(2(x+y+1)+\frac{4}{x+y}=(x+y+2)+[(x+y)+\frac{4}{x+y}]\)
\(\geq (2\sqrt{xy}+2)+2\sqrt{(x+y).\frac{4}{x+y}}=(2+2)+4=8(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow (x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq 8\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$
KK
23 tháng 2 2017
Xét: \(\frac{1-x^2}{x+yz}+\frac{1-y^2}{y+xz}+\frac{1-z^2}{z+xy}\)
Thay thế \(x+y+z=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2-x^2}{x\left(x+y+z\right)+yz}+\frac{\left(x+y+z\right)^2-y^2}{y\left(x+y+z\right)+xz}+\frac{\left(x+y+z\right)^2-z^2}{z\left(x+y+z\right)+xy}\)
Áp dụng hằng đẳng thức hiệu 2 bình phương: \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(y+z\right)\left(2x+y+z\right)}{x^2+xy+xz+yz}+\frac{\left(x+z\right)\left(x+2y+z\right)}{xy+y^2+yz+xz}+\frac{\left(x+y\right)\left(x+y+2z\right)}{xz+zy+z^2+xy}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(y+z\right)\left(2x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{\left(x+z\right)\left(x+2y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{\left(x+y\right)\left(x+y+2z\right)}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\left(x+y\right)\left(x+z\right)\le\left(\frac{2x+y+z}{2}\right)^2=\frac{\left(2x+y+z\right)^2}{4}\\\left(x+y\right)\left(y+z\right)\le\left(\frac{x+2y+z}{2}\right)^2=\frac{\left(x+2y+z\right)^2}{4}\\\left(x+z\right)\left(y+z\right)\le\left(\frac{x+y+2z}{2}\right)^2=\frac{\left(x+y+2z\right)^2}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{\left(y+z\right)\left(2x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{4\left(y+z\right)\left(2x+y+z\right)}{\left(2x+y+z\right)^2}=\frac{4\left(y+z\right)}{2x+y+z}\\\frac{\left(x+z\right)\left(x+2y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{4\left(x+z\right)\left(x+2y+z\right)}{\left(x+2y+z\right)^2}=\frac{4\left(x+z\right)}{x+2y+z}\\\frac{\left(x+y\right)\left(x+y+2z\right)}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{4\left(x+y\right)\left(x+y+2z\right)}{\left(x+y+2z\right)^2}=\frac{4\left(x+y\right)}{x+y+2z}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4\left(y+z\right)}{2x+y+z}+\frac{4\left(x+z\right)}{x+2y+z}+\frac{4\left(x+y\right)}{x+y+2z}\)
\(\Rightarrow VT\ge4\left(\frac{y+z}{2x+y+z}+\frac{x+z}{x+2y+z}+\frac{x+y}{x+y+2z}\right)\)
Ta có: \(x+y+z=1\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}y+z=1-x\\x+z=1-y\\x+y=1-z\end{matrix}\right.\) ( 1 )
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}2x+y+z=1+x\\x+2y+z=1+y\\x+y+2z=1+z\end{matrix}\right.\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 )
\(\Rightarrow VT\ge4\left(\frac{1-x}{1+x}+\frac{1-y}{1+y}+\frac{1-z}{1+z}\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge4\left(\frac{1+x-2x}{1+x}+\frac{1+y-2y}{1+y}+\frac{1+z-2z}{1+z}\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge4\left[3-\left(\frac{2x}{1+x}+\frac{2y}{1+y}+\frac{2z}{1+z}\right)\right]\)
\(\Rightarrow VT\ge12-4\left(\frac{2x}{1+x}+\frac{2y}{1+y}+\frac{2z}{1+z}\right)\)
Chứng minh rằng \(12-4\left(\frac{2x}{1+x}+\frac{2y}{1+y}+\frac{2z}{1+z}\right)\ge6\)
\(\Leftrightarrow4\left(\frac{2x}{1+x}+\frac{2y}{1+y}+\frac{2z}{1+z}\right)\le6\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x}{1+x}+\frac{2y}{1+y}+\frac{2z}{1+z}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}\le\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1+x-1}{1+x}+\frac{1+y-1}{1+y}+\frac{1+z-1}{1+z}\le\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow1-\frac{1}{1+x}+1-\frac{1}{1+y}+1-\frac{1}{1+z}\le\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow3-\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\right)\le\frac{3}{4}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+x+y+z}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow3-\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\right)\le3-\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow3-\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\right)\le\frac{3}{4}\) ( đpcm )
Vì \(12-4\left(\frac{2x}{1+x}+\frac{2y}{1+y}+\frac{2z}{1+z}\right)\ge6\)
\(\Rightarrow VT\ge6\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1-x^2}{x+yz}+\frac{1-y^2}{y+xz}+\frac{1-z^2}{z+xy}\ge6\) ( đpcm )
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 2 2017
Cách khác:
\(A=\frac{1-x^2}{x+yz}+\frac{1-y^2}{y+xz}+\frac{1-z^2}{z+xy}=\frac{1-x^2}{x(x+y+z)+yz}+\frac{1-y^2}{y(x+y+z)+xz}+\frac{1-z^2}{z(x+y+z)+xy}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{1-x^2}{(x+y)(x+z)}+\frac{1-y^2}{(y+z)(y+x)}+\frac{1-z^2}{(z+x)(z+y)}=\frac{2(x+y+z)-[xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)]}{(x+y)(y+z)(x+z)}\)
Có \(A\geq 6\Leftrightarrow 2-[xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)]\ge 6(x+y)(y+z)(x+z)\)
\(\Leftrightarrow 2+9xyz\geq 7(x+y+z)(xy+yz+xz)\)
\(\Leftrightarrow 2+9xyz\geq 7(xy+yz+xz)\) \((\star)\)
Theo BĐT Schur bậc 3 kết hợp AM-GM:
\(xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)=(1-2x)(1-2y)(1-2z)\)
\(\Leftrightarrow 9xyz\geq 4(xy+yz+xz)-1\)
\(\Rightarrow 2+9(xy+yz+xz)\geq 1+4(xy+yz+xz)=(x+y+z)^2+4(xy+yz+xz)\)\(\geq 7(xy+yz+xz)\)
Do đó \((\star)\) được CM. Bài toán hoàn tất. Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
KN
20 tháng 2 2020
\(BĐT\Leftrightarrow\frac{\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)}{xyz}\)\(\ge3+\sqrt{x^2.\frac{x+y+z}{xyz}+1}+\sqrt{y^2.\frac{x+y+z}{xyz}+1}\)
\(+\sqrt{z^2.\frac{x+y+z}{xyz}+1}\)
Ta có biến đổi sau:
\(VT=\frac{xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+3xyz}{xyz}\)\(=\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+3\)
\(VP=\sqrt{\frac{x+y}{z}.\frac{y+z}{x}}+\sqrt{\frac{y+z}{x}.\frac{z+x}{y}}+\sqrt{\frac{z+x}{y}.\frac{x+y}{z}}\)
Nên bđt đã cho tương đương với:
\(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\)\(\ge\sqrt{\frac{x+y}{z}.\frac{y+z}{x}}+\sqrt{\frac{y+z}{x}.\frac{z+x}{y}}+\sqrt{\frac{z+x}{y}.\frac{x+y}{z}}\)
Đúng theo bđt cơ bản \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz+xyz\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+yz+zx\right)+xyz\)
Áp dụng Bđt Cô si ngược dấu
\(3\left(xy+yz+xz\right)\le\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+yz+xz\right)\ge0\left(1\right)\)
\(xyz\le\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3=8\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) =>Đpcm
thắng nguyễn làm sai dấu r kìa bạn