Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐKXĐ: ...
\(Q=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\right)}-\frac{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}{x-\left(x-1\right)}-\frac{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2}\right)}{x-1-2}\)
\(=\sqrt{x}+\sqrt{x-1}-\sqrt{x-1}-\sqrt{2}\)
\(=\sqrt{x}-\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow Q+\sqrt{2}=\sqrt{x}\)
\(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow1\ge4xy\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)(1)
\(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge2\Leftrightarrow x+y\ge\sqrt{2}\)
Từ phần a ta có \(x+y\le\sqrt{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}\right)^2\)
\(\le\left(1+1\right)\left(2\left(x+y\right)+2\right)\)
\(=2\cdot\left(2\left(x+y\right)+2\right)\le2\cdot\left(2\sqrt{2}+2\right)\)
\(=4\sqrt{2}+4=VP^2\)
Suy ra \(VT\ge VP\) (ĐPCM)
1.\(x=7+4\sqrt{3}\)
\(=\left(\sqrt{3}+2\right)^2\)
Thay x=\(\left(2+\sqrt{3}\right)^2\), ta có:
\(A=\frac{3+\sqrt{3}}{4+\sqrt{3}}\)
2. \(B=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)-\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(B=\frac{-3}{2-\sqrt{x}}\left(đpcm\right)\)
3. \(\frac{B}{A}=\frac{\frac{-3}{2-\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}}=\frac{-3}{2-\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\)
\(\frac{B}{A}< -1\Rightarrow\frac{3\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}< -1\)
\(\Leftrightarrow\frac{3\sqrt{x}+6+x-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}< 0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-2\sqrt{x}+4}{x-\sqrt{x}-2}< 0\)
\(\Rightarrow x-\sqrt{x}-2< 0\)(Vì \(x-2\sqrt{x}+4>0\))
\(\Leftrightarrow-1< x< 2\)
Đặt \(\sqrt{x-1}=t\)
Đẳng thức đã cho trở thành:
\(\sqrt{t^2+1+2t}+\sqrt{t^2+1-2t}\)
\(=\sqrt{\left(t+1\right)^2}+\sqrt{\left(t-1\right)^2}\)
= t+1 + t - 1
= 2t
Vậy đẳng thức đã được chứng minh