Question

[Tạ Nguyễn Thế An]

Chứng minhn rằng nếu a>0, b>0, c>0 thì:

\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}} +\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

Ta có: 

\(\sqrt{\frac{b+c}{a}.1}\le\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}=\frac{a+b+c}{2a}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)

Tương tự ta cũng có: 

\(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c},\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\).

Cộng lại vế theo vế ta được: 

\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b+c\\b=c+a\\c=a+b\end{cases}}\Rightarrow a+b+c=0\)do đó không xảy ra dấu \(=\).