Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Làm đại luôn mặc dù chưa xong xD. Có sai sót gì cho xin lỗi nha!
Đặt: \(M=\frac{a^2+bc}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b^2+ca}{\left(c+a\right)^2}+\frac{c^2+ab}{\left(a+b\right)^2}\)
\(M=\frac{\frac{1}{\left(b+c\right)^2}}{\frac{1}{a^2+bc}}+\frac{\frac{1}{\left(c+a\right)^2}}{\frac{1}{b^2+ca}}+\frac{\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}{\frac{1}{c^2+ab}}\)
Áp dụng Bđt AM-GM dạng Engel:
\(M\ge\frac{\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)^2}{\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}}\)
Chuẩn hóa: \(a+b+c=3\)
Có: \(A=\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)^2\ge\left(\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\right)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2\)
CM:\(B=\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{3}{2}\)so what ? Tới đây k biết làm.
\(102=x^2+y^2+52\)
\(=\left(x^2+16\right)+\left(y^2+36\right)\)
\(\ge8\left|x\right|+12\left|y\right|\ge8x+12y=4A\)
\(\Rightarrow A\le26\) tại x=4;y=6
Không chắc:v Nếu có thêm dấu giá trị tuyệt đối nữa thì ko dùng cosi được thì phải
Anh làm cách cosi
\(VT^2=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+2\left(b^2+a^2+c^2\right)\)
Ta có \(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}\ge2b^2\)
\(\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\ge2c^2\)=> \(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}\ge2c^2\)
=> \(VT^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\)
=> \(VT\ge3\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c1
xD
Có: \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge3\)(1)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(ab\right)^3+\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3-3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}\ge0\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}ab=x\\bc=y\\ac=z\end{cases}\left(x,y,z>0\right)}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{\left(abc\right)^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\right]}{\left(abc\right)^2}\ge0\)(đúng)
Vậy ........... dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z hay a=b=c=1
a, 2x-1 thuộc ước của 2,rồi giải ra
b,c tương tự
d\(\frac{x^2-64-123}{x+8}=\frac{\left(x+8\right)\left(x-8\right)-123}{x+8}=x-8-\frac{123}{X+8}\) .........rồi làm tương tự như câu a,,,,,,,,,,,,còn câu e cũng gần giống câu d
Câu đặc biệt :
\(\left(3x-2\right)\left(x+1\right)^2\left(3x+8\right)=-16\)
\(\Leftrightarrow9x^4+36x^3+29x^2-14x-16=-16\)
\(\Leftrightarrow9x^4+36x^3+29x^2-14x=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(9x^3+36x^2+29x-14\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x\left[\left(9x^3+18x^2-7x\right)+\left(18x^2+36x-14\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x\left[x\left(9x^2+18x-7\right)+2\left(9x^2+18x-7\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)\left(9x^2+18x-7\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)\left[\left(9x^2+21x\right)-\left(3x+7\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)\left[3x\left(3x+7\right)-\left(3x+7\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)\left(3x-1\right)\left(3x+7\right)=0\)
<=> x = 0 hoặc x + 2 = 0 hoặc 3x - 1 = 0 hoặc 3x + 7 = 0
<=> x = 0 hoặc x = - 2 hoặc x = 1/3 hoặc x = 7/3
Vậy phương trình có tập nghiệm là : \(S=\left\{0;\frac{1}{3};\frac{7}{3};-2\right\}\)
Câu 2:
a) Ta có: \(2x^2+3x+1>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x^2+3x+1}{3}>\frac{0}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}x^2+x+\frac{1}{3}>0\)
=> đpcm
b) Ta có: \(4x-1< 0\)
\(\Leftrightarrow0-\left(4x-1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow1-4x>0\)
=> đpcm
c) Ta có: \(\frac{3x-2}{4}+2\frac{1}{2}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{3x-2}{4}+\frac{10}{4}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{3x+8}{4}>0\)
\(\Rightarrow3x+8>0\)
=> đpcm
Ta có \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Rightarrow\frac{ayz+bxz+cxy}{xyz}=0\Rightarrow ayz+bxz+cxy=0\left(1\right)\)(1)
lại có \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\Rightarrow\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{xz}{ac}+\frac{yz}{bc}\right)\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1-2\frac{ayz+bxz+cxy}{abc}\left(2\right)\)
Thay (1) vào (2) ta được \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\left(đfcm\right)\)
Ta có :\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}=0\)
=> \(a\left(\frac{a}{b+c}\right)+b\left(\frac{b}{a+c}\right)+c\left(\frac{c}{a+b}\right)=0\)
=> \(a\left(\frac{a}{b+c}+1-1\right)+b\left(\frac{b}{a+c}+1-1\right)+c\left(\frac{c}{a+b}+1-1\right)=0\)
=> \(a\left(\frac{a+b+c}{b+c}-1\right)+b\left(\frac{a+b+c}{a+c}-1\right)+c\left(\frac{a+b+c}{a+b}-1\right)=0\)
=> \(a.\frac{a+b+c}{b+c}-a+b.\frac{a+b+c}{a+c}-b+c.\frac{a+b+c}{a+b}-c=0\)
=> \(\left(a+b+c\right).\frac{a}{b+c}+\left(a+b+c\right).\frac{b}{a+c}+\left(a+b+c\right).\frac{c}{a+b}-\left(a+b+c\right)=0\)
=> \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}-1\right)=0\)
=> \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}-1=0\left(\text{Vì }a+b+c\ne0\right)\)
=> \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=1\)(đpcm)
Dạng này thì đặt k là chắc ăn nhất !
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)
\(\Rightarrow a=bk;c=dk\)
Ta có:
\(\frac{7a^2+5ac}{7a^2-5ac}=\frac{7b^2k^2+5bk\cdot dk}{7b^2k^2-5bk\cdot dk}=\frac{7b^2k^2+5bdk^2}{7b^2k^2-5bdk^2}=\frac{bk^2\left(7b+5d\right)}{bk^2\left(7b-5d\right)}=\frac{7b+5d}{7b-5d}\)
\(\frac{7b^2+5bd}{7b^2-5bd}=\frac{b\left(7b+5d\right)}{b\left(7b-5d\right)}=\frac{7b+5d}{7b-5d}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{d}=k\)
Vì\(\frac{a}{b}=k\Rightarrow a=bk\)
Vì\(\frac{b}{d}=k\Rightarrow b=dk\)
Ta có:
\(\frac{7a^2+5ac}{7a^2-5ac}=\frac{7\left(bk\right)^2+5.bk.dk}{7\left(bk\right)^2-5.bk.dk}=\frac{7b^2.k^2+5bd.k^2}{7b^2.k^2-5bd.k^2}=\frac{k^2.\left(7b^2+5bd\right)}{k^2.\left(7b^2-5bd\right)}\)
\(=\frac{7b^2+5bd}{7b^2-5bd}\)
\(\Rightarrowđpcm\)