Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(\text{ }x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(ĐPCM)
*NOTE: chứng minh đc vì (x-y)^2 >= 0 ; x^2 +xy +y^2 > 0
mình cũng làm đến nơi rồi nhưng sợ x^2+xy+y^2 chưa chắc lớn hơn 0 thanks bạn nhé
\(B=\left(x-5+3y\right)^2+50-6xy\)
\(=x^2+25+9y^2-10x-30y+6xy+50-6xy\)
\(=x^2+9y^2-10x-30y+75\)
\(=x^2-10x+25+9y^2-30y+25+25\)
\(=\left(x-5\right)^2+\left(3y-5\right)^2+25>0\forall x;y\)
a) x2 - 2xy + y2 + 1
= ( x - y)2 + 1
Do : ( x - y)2 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi số tực x và y
--> ( x -y)2 + 1 lớn hơn hoặc bằng 1 > 0 với mọi số thực x và y
Khi và chỉ khi : x - y =0 --> x =y
b) x - x2 - 1
= - ( x2 - x + 1)
= - [ x2 - 2.\(\dfrac{1}{2}\)x + (\(\dfrac{1}{2}\))2 - \(\dfrac{1}{4}+1\)]
= - ( x - \(\dfrac{1}{2}\))2 + \(\dfrac{1}{4}-1\)
= - ( x - \(\dfrac{1}{2}\))2 - \(\dfrac{3}{4}\)
Do : - ( x - \(\dfrac{1}{2}\))2 nhỏ hơn hoặc bằng 0 với mọi số thực x
--> - ( x - \(\dfrac{1}{2}\))2 - \(\dfrac{3}{4}\) nhỏ hơn hoặc bằng - \(\dfrac{3}{4}\)với mọi số thực x
Khi và chỉ khi : x - \(\dfrac{1}{2}\)=0 --> x = \(\dfrac{1}{2}\)
Giả sử phản chung : \(x^2-xy+y^2< 0\)
\(\Rightarrow\)\(2.\left(x^2-xy+y^2\right)< 0\)( TOm lại la : Dương x Âm = Âm
\(\Rightarrow\)\(2x^2-2xy+2y^2\)
\(\Rightarrow\)\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+x^2+y^2=\left(x+y\right)^2+x^2+y^2\ge0\)\(\forall x,y\)
Từ đó \(\Rightarrow\)ĐPCM
làm tắt ko hiểu thì hỏi
a) \(=x^2+2.xy.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}y^2-\frac{1}{4}y^2+y^2+1\)
\(=\left(x+\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2+1>0\)
b) \(=\left(x^2-2x+1\right)+\left(4y^2+8y+4\right)+\left(z^2-6x+9\right)+1\)
\(=\left(x-1\right)^2+\left(2y+2\right)^2+\left(z-3\right)^2+1>0\)
Đặt \(T=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{\left(2n\right)^2}\)
\(< \frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(2n-1\right)n}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{n}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{n}< \frac{1}{2}^{\left(đpcm\right)}\) (không chắc nha)
Đặt \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{\left(2n\right)^2}\)
\(=\frac{1}{2^2}.\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)
Ta có: \(\frac{1}{1}=\frac{1}{1},\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2},\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3},....,\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right).n}\)
=> \(A< \frac{1}{2^2}.\left[1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\right]\)
\(=\frac{1}{2^2}.\left(1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+....+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2^2}.\left(2-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4.\left(n+1\right)}\)
p/s: bài tớ ko bt đúng ko, nhưng tth bn làm vậy sẽ ko có quy luật, đoạn này
nếu cứ theo quy luật, tiếp tục sẽ ntn:\(\frac{1}{6^2}< \frac{1}{5.6};\frac{1}{8^2}< \frac{1}{6.7};\frac{1}{10^2}< \frac{1}{7.8}\)
\(a+b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-b-c\\b=-a-c\\c=-a-b\end{cases}}\)
\(ab+bc+ac=\left(-b-c\right).b+\left(-a-c\right).c+\left(-a-b\right).a\)
\(=-\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow2.\left(ab+bc+ac\right)=-\left(a^2+b^2+c^2\right)\le0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\le0\)(đpcm)
Boul đẹp trai_tán gái đổ 100%:mik có cách khác nè:3
\(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)
Do \(a^2+b^2+c^2\ge0\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\le0\Rightarrowđpcm\)
\(y-y^2-1\)
\(=-\left(y^2-y+1\right)\)
\(=-\left(y^2-2\cdot y\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\)
\(=-\left[\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\right]\)
Vì \(\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}>0\forall y\)
\(\Rightarrow-\left[\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\right]< 0\forall y\left(đpcm\right)\)