Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ \(9^{2n+1}+1=\left(9+1\right)\left(9^{2n}-9^{2n-1}+...\right)=10\left(9^{2n}-9^{2n-1}+...\right)\)
Chia hết cho 10
b/ \(3^{4n+1}+2=3^{4n+1}-3+5=3\left(3^{4n}-1\right)+5\)
\(=3\left(81^n-1\right)+5=3.80\left(81^{n-1}+...\right)+5\)
Cái này chia hết cho 5
Bài giải
Ta có : Nếu \(n\text{ }⋮\text{ }5\)
\(\Rightarrow\text{ }n^2=n\cdot n\text{ là bội của }n\text{ }\Rightarrow\text{ }n^2\text{ }⋮\text{ }5\)
ta xét hai khả năng
1. nếun⋮3n⋮3 thì (n3+2n)⋮3(n3+2n)⋮3
2.nếu n không chia hết cho 3 thì n có dạng n=3k+1n=3k+1 hoặc n=3k+2
với k thuộc N
Với n=3k+1:(n3+2n)=(3k+1)3+2(3k+1)n=3k+1:(n3+2n)=(3k+1)3+2(3k+1)
=27k3+27k2+9k+1+6k+2=3(9k3+9k2+5k+1)⋮3=27k3+27k2+9k+1+6k+2=3(9k3+9k2+5k+1)⋮3
Với n=3k+2⋮(n3+2n)=(3k+2)3+2(3k+2)n=3k+2⋮(n3+2n)=(3k+2)3+2(3k+2)
=27k3+54k2+36k+8+6k+4=3(9k3+18k2+14k+4)⋮3
Lời giải:
Điều phải chứng minh tương đương với việc tồn tại vô số số $n$ sao cho \(p|2^n-n\) với mọi \(p\in\mathbb{P}\)
Ta sẽ chỉ là một dạng tổng quát của $n$
------------------------------------------
Vì theo định lý Fermat nhỏ ta \(2^{p-1}\equiv 1\pmod p\)
\(\Leftrightarrow p|2^{p-1}-1\)
Do đó đặt \(n=k(p-1)\)
Khi đó \(2^n-n=2^{k(p-1)}-k(p-1)\equiv 1+ k\pmod p\)
Để \(p|2^n-n\Rightarrow 1+k\equiv 0\pmod p\Leftrightarrow k=pt-1\)
Vậy \(p|2^{(pt-1)(p-1)}-(pt-1)(p-1)\forall p\in \mathbb{P}\)
Nghĩa là tồn tại vô hạn số n có dạng \((pt-1)(p-1)\) với $t$ là số tự nhiên nào đó thỏa mãn điều kiện đề bài.
Ta có đpcm.