Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
áp dụng BĐT Cô si :
+ cho cặp số a,b ta được \(a+b\ge2\sqrt{ab}\left(1\right)\)
+ cho cặp số \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) ta được \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\left(2\right)\)
Nhân hai vế với \(\left(1\right),\left(2\right)\) ta được :\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}.\dfrac{2}{\sqrt{ab}}=4\) (đpcm)
oaa cha cha :V mới đọc BĐT kiểu dạng này xong :P
Mình sẽ giải theo hai cách nhé :P
C1 : Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz dạng engel :
\(\dfrac{a^2_1+a^2_2+...+a^2_n}{b_1+b_2+...+b_n}\ge\dfrac{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2}{b_1+b_2+...+b_n}\) Ta có :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\dfrac{4}{ab}\left(ĐPCM\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}\)
C2 : Áp dụng BĐT Cauchy dạng \(a+b\ge2ab\) ta có :
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
\(=1+1+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\ge2+2\sqrt{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}}=2+2\sqrt{1}=4\left(ĐPCM\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b.
vì a,b>0, áp dụng bđt cô si ta có
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\)
nhân với nhau ta có
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)
\(\dfrac{a^3}{\left(a+2b\right)\left(b+2c\right)}+\dfrac{a+2b}{27}+\dfrac{b+2c}{27}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3\left(a+2b\right)\left(b+2c\right)}{27^2.\left(a+2b\right)\left(b+2c\right)}}=\dfrac{a}{3}\)
Tương tự:
\(\dfrac{b^3}{\left(b+2c\right)\left(c+2a\right)}+\dfrac{b+2c}{27}+\dfrac{c+2a}{27}\ge\dfrac{b}{3}\)
\(\dfrac{c^3}{\left(c+2a\right)\left(a+2b\right)}+\dfrac{c+2a}{27}+\dfrac{a+2b}{27}\ge\dfrac{c}{3}\)
Cộng vế:
\(VT+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{9}\ge\dfrac{a+b+c}{3}\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{a+b+c}{9}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
a)Theo bất đẳng thức cauchy:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}.\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b\)
Ta có điều phải chứng minh
b)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{9}{a+b+c}.\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(a=b=c\)
Ta có điều phải chứng minh
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{a+b}{ab}\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\)
Áp dụng BĐT với hai số dương ta có:
`a+b>=2sqrt{ab}`
`1/a+1/b>=2/sqrt{ab}`
`=>(a+b)(1/a+1/b)>=2sqrt{ab}. 2/sqrt{ab}=4`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b>0`
a) Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
=>\(a^2+b^2-2ab\ge0\left(đpcm\right)\)
b) \(\left(a+b\right)^2\ge0\)
=> \(a^2+b^2+2ab\ge0\)
<=> \(a^2+b^2\ge-2ab\)
<=> \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\) (đpcm)
c) ta có: \(\left(a+1\right)^2=a^2+2a+1\)
\(a\left(a+2\right)=a^2+2a\)
Vậy từ 2 điều trên => \(a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)
d) \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\) (*)
<=>m2 - 2m +1 +n2 - 2n +1 \(\ge0\)
<=> \(\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\) (1)
(1) đúng => (*) đúng
d) Bạn ấy giải rồi ,mình không giải nữa
e) Theo BĐT cauchy ta có: \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{b}+1\right)+\left(\dfrac{b}{a}+1\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{b}+\dfrac{a+b}{a}\ge4\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\right)\ge4\) (đpcm)
Vậy..........
Áp dụng BĐT Cô - si : x + y ≥ \(2\sqrt{xy}\) ( x > 0 ; y > 0)
⇒ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) ≥ \(\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\) ( a > 0 ; b > 0 )
⇒ ( a + b)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) ≥ \(\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\).\(2\sqrt{ab}\)
⇒ ( a + b)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) ≥ 4
Xét hiệu:
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)-4=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1-4\)
\(=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\) ( luôn đúng)
Suy ra: \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)