PM
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
PT
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 11 2018
Lời giải:
Ở đây ta sẽ xét bài toán trong TH $m,n$ là số tự nhiên .
Cho \(n=4k+2(k\in\mathbb{N})\)
\(\Rightarrow 3^n+1=3^{4k+2}+1=9^{2k+1}+1\vdots 9+1\vdots 5\) (theo hằng đẳng thức đáng nhớ)
Mà \(2^m\) không có ước là $5$
Do đó \(2^m\not\vdots 3^n+1\) với mọi số tự nhiên $m,n>1$
CC
14 tháng 4 2018
2)a)\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
c)\(a^3+b^3-a^2b-ab^2=a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)=\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\\ \Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
b)\(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\Leftrightarrow4a^3+4b^3\ge a^3+b^3+3a^b+3ab^2\\ \Leftrightarrow4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\Leftrightarrow\dfrac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 5 2020
Lời giải:
Đặt biểu thức đã cho là $A$.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\geq 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}\)
Mà:
\((a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)
\(=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=1+(ad+bc)^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\geq 2\sqrt{1+(ad+bc)^2}\)
\(\Rightarrow A\geq 2\sqrt{1+(ad+bc)^2}+ad+bc\). Đặt $ad+bc=t$ thì: $A\geq 2\sqrt{t^2+1}+t$.
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((t^2+1)\left[(\frac{-1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2\right]\geq (\frac{-t}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})^2\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{t^2+1}\geq |\frac{-t}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}|\)
\(\Rightarrow A\geq 2\sqrt{t^2+1}+t\geq 2|\frac{-t}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}|+t\geq 2(\frac{-t}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})+t=\sqrt{3}\) (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 11 2019
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2b+5\ge2ab+4a\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2+2b+1+a^2-4a+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b+1\right)^2+\left(a-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" ko xảy ra nên BĐT đã cho sai, BĐT đúng chỉ là ">", ko có "\(\ge\)"
28 tháng 9 2016
Ta có : \(n!=1.2.3...k...n\)
\(n!=n.\left(n-1\right).\left(n-2\right)...\left(n-k+1\right)...1\)
\(\Rightarrow n!.n!=\left(n!\right)^2=\left(1.n\right).\left[2.\left(n-1\right)\right].\left[3\left(n-2\right)\right]...\left[k\left(n-k+1\right)\right]...\left(n.1\right)\)
Ta sẽ chứng minh biểu thức trong mỗi ngoặc vuông đều không nhỏ hơn n.
Xét \(k\left(n-k+1\right)-n=kn-k^2+k-n=k\left(n-k\right)+\left(k-n\right)=\left(n-k\right)\left(k-1\right)\ge0\)
vì \(n>k\ge1\)
\(\Rightarrow k\left(n-k+1\right)\ge n\)
Do vậy ta có đpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 2 2020
\(VT=a^2+b^2+c^2+d^2-2\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)
\(VT\ge\frac{1}{4}\left(a+b+c+d\right)^2-\frac{1}{2}\left(a+b+c+d\right)^2=-\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
tách m^2 thành m^2/4
T thay mặt bạn Tuấn giúp bạn Tuấn làm bài tập của bạn Tuấn nhé :)
Ta có
\(\frac{m^2}{4}+n^2\ge mn\)
\(\frac{m^2}{4}+p^2\ge mp\)
\(\frac{m^2}{4}+q^2\ge mq\)
\(\frac{m^2}{4}+1\ge m\)
Cộng vế theo vế được
m2 + n2 + p2 + q2 + 1 \(\ge\)m(n + p + q + 1)