Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{\frac{a}{c+b}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(c+b\right)}}\ge\frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2a}{a+b+c}\)
tương tự : \(\sqrt{\frac{b}{a+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c};\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(ĐPCM)
a) Bình phương 2 vế được: \(\frac{4ab}{a+b+2\sqrt{ab}}\le\sqrt{ab}\)
<=> \(4ab\le\sqrt{ab}\left(a+b\right)+2ab\)
<=>\(\sqrt{ab}\left(a+b\right)\ge2ab\)
<=>\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt[4]{ab}\forall a,b>0\)
Ta có:\(a+\left(b+c\right)\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\Rightarrow\frac{a+b+c}{2}\ge\sqrt{a\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2a}{a+b+c}\)
Chứng minh tương tự rồi cộng vế với vế ta được:
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b+c\\b=c+a\\c=a+b\end{cases}}\)-> hệ vô nghiệm
\(\)\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)
Ta có đpcm
Asp dụng bđt AM-GM ta có
\(\frac{\left(\frac{b+c}{a}+1\right)}{2}\ge\sqrt{\frac{b+c}{a}.1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{2a}\ge\sqrt{\frac{b+c}{a}}\) hay \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)(1)
Tương tự
\(\sqrt{\frac{b}{b+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\)(2)
\(\sqrt{\frac{c}{c+a}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)(3)
Từ (1),(2),(3) ta có
\(VT\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{a}{a+b}}=1\\\sqrt{\frac{b}{b+c}}=1\\\sqrt{\frac{c}{c+a}}=1\end{cases}}\)(vô lí )
Vậy dấu "=" không xảy ra
do đó \(VT>2\)
ღ๖ۣۜLinh's ๖ۣۜLinh'sღ] ★we are one★ bạn viết sai rồi kia. xem đề coi có sai ko đã
Ta có: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sqrt{\frac{a^2}{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)(1)
Tương tự: \(\sqrt{\frac{b}{a+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\)(2)
\(\sqrt{\frac{c}{b+a}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)(3)
Cộng (1),(2),(3) vế theo vế => \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge2\)