Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét hiệu \(\left(x^5+y^5+z^5\right)-\left(x+y+z\right)=\left(x^5-x\right)+\left(y^5-y\right)+\left(z^5-z\right)\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^5-x⋮30\\y^5-y⋮30\\z^5-z⋮30\end{cases}}\) (tự chứng minh)
=>\(\left(x^5-x\right)+\left(y^5-y\right)+\left(z^5-z\right)⋮30\)
Mặt khác \(x+y+z⋮30\)
=>\(x^5+y^5+z^5⋮30\) (đpcm)
Bài 1:
x5y-xy5=xy(x4-y4)=xy(x4-1+y4+1)
=xy(x4-1)-xy(y4-1)=xy(x2-1)(x2+1)-xy(y2-1)(y2+1)
=xy(x-1)(x+1)(x2+1)-xy(y-1)(y+1)(y2-1)
Mà:xy(x-1)(x+1)(x2+1) chia hết 2;3;5
=>xy(x-1)(x+1)(x2+1) chia hết cho 30
Cmtt:xy(y-1)(y+1)(y2+1) chia hết cho 30
Nên x5y-xy5 chia hết cho 30
Bài 2:
x2+y2+z2=y(x+z)
<=>x2+y2+z2-yx-yz=0
<=>2x2+2y2+2z2-2yx-2yz=0
<=>(x – y)2 + (y – z)2 + x2 + z2 = 0
<=>x – y = y – z = x = z = 0
<=>x=y=z=0
\(\left(x-y\right)^5+\left(y-z\right)^5+\left(z-x\right)^5\)
\(=x^5-5x^4y+10x^3y^2-10x^2y^3+5xy^4-y^5+y^5-5y^4z+10y^3z^2-10y^2z^3+5yz^4-z^5\)\(+z^5-5z^4x+10z^3x^2-10z^2x^3+5zx^4-x^5\)
\(=5\left(-x^4y+2x^3y^2-2x^2y^3+xy^4-y^4z+2y^3z^2-2y^2z^3+yz^4-z^4x+2z^3x^2-2z^2x^3+zx^4\right)\)
từ x+y+z=0 => x=-(x+y)
\(x^5+y^5+z^5=x^5+y^5-\left(x+y\right)^5=x^5-x^5+y^5-y^5-5\left(x^4y+2x^3y^2+2x^2y^3+xy^4\right)\)
\(=-5xy\left(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3\right)=-5xy\left[\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+2xy\left(x+y\right)\right]\)
\(=-5xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)(1)
\(x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+\left[-\left(x+y\right)^2\right]=x^2+y^2+\left(x+y\right)^2=2\left(x^2+y^2+xy\right)\)(2)
\(x^7+y^7+z^7=x^7+y^7-\left(x+y\right)^7=-7xy\left(x^5+3x^4y+5x^3y^2+5x^2y^3+3xy^4+y^5\right)\)
\(=-7xy\left(x+y\right)\left(x^2+y^2+xy\right)\)(đoạn này tách như chỗ mũ 5 sẽ ra) (3)
nhân 10 với (3) và 7 với (1)(2) sẽ ra 2 vế = nhau của điều phải chứng minh.
đây là các phương trình bậc cao, em lên gg gõ bảng Paxcan sẽ ra nha! có qui luật, sắp thi HSG đúng k? ráng học thuộc để áp dụng nha! chúc em học tốt
\(y+z=-x\)
\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)^5=-x^5\)
\(\Leftrightarrow y^5+5y^4z+10y^3z^2+10y^2z^3+5yz^4+z^5+x^5=0\)
\(\Leftrightarrow x^5+y^5+z^5+5yz\left(y^3+2y^2z+2yz^2+z^3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^5+y^5+z^5+5yz\left[\left(y+z\right)\left(y^2-yz-z^2\right)+2yz\left(y+z\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x^5+y^5+z^5+5yz\left(y+z\right)\left(y^2+yz+z^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^5+y^5+z^5\right)-5xyz\left[\left(y^2+2yz+z^2\right)+y^2+z^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^5+y^5+z^5\right)=5xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\)(đpcm)
1. Rút gọn biểu thức:
(x - y + z)2 + (z - y)2 + 2(x - y + z)(y - z)
= (x - y + z)2 + 2(x - y + z)(y - z) + (y - z)2
= (x - y + z + y - z)2
= x2
2. Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1
Giải
Đặt a = 5q + 4 (q \(\in\) N), ta có:
a2 = (5q + 4)2 = 25q2 + 40q + 16 = (25q2 + 40q + 15) + 1 chia cho 5 dư 1.