Chứng minh rằng:\(a^4\)+\(b^4\)+\(c^4\)+\(d^4\)\(\ge\)2(\(a^2b^2\)+\(c^2d^2\))\(\ge\)4abcd

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Chọn lớp

Chọn môn

Mua vip

N.T.M.D

14 tháng 4 2021

Chứng minh rằng:

\(a^4\)+\(b^4\)+\(c^4\)+\(d^4\)\(\ge\)2(\(a^2b^2\)+\(c^2d^2\))\(\ge\)4abcd

#Toán lớp 8

Thu Thao

14 tháng 4 2021

undefined

Đúng(1)

14 tháng 4 2021

Đúng(0)

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

Qynh Nqa

5 tháng 4 2020

Bài 2: Cho a,b,c,d∈ R. Chứng minh rằng a²+b²≥ 2ab (1). Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a⁴+b⁴+c⁴+d⁴≥ 4abcd

b) (a²+1)(b²+1)(c²+1) ≥ 8abc

c) (a²+4)(b²+4)(c²+4)(d²+4) ≥ 256abcd

#Toán lớp 8

Nguyễn Ngọc Lộc

5 tháng 4 2020

a, Ta có : BĐT \(a^2+b^2\ge2ab\) = BĐT cauchuy .

-> Áp dụng BĐT cauchuy ta được :

\(\left\{{}\begin{matrix}a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4b^4}=2a^2b^2\\c^4+d^4\ge2\sqrt{c^4d^4}=2c^2d^2\end{matrix}\right.\)

- Cộng 2 bpt lại ta được :

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2=2\left(\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\right)\)

- Mà \(\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\ge2abcd\)

=> \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2.2abcd=4abcd\)

b, CMTT câu 1 .

- Áp dụng BĐT cauchuy ta được :

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\)

- Nhân 3 bpt trên lại ta được :

\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2.2.2abc=8abc\)

Đúng(0)

Nguyễn Hương Giang

2 tháng 4 2019 - olm

Chứng minh rằng:

a^4 + b^4 + c^4 +d^4\(\ge\)4abcd

#Toán lớp 8

Fire Sky

2 tháng 4 2019

Áp dụng BĐT Cô-si ta có :

\(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)

\(c^4+d^4\ge2c^2d^2\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2\)

Mà \(2a^2b^2+2c^2d^2\ge2\sqrt{2ab.2cd}=4abcd\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)

Đúng(0)

kokokokokok

5 tháng 5 2019

Cho a, b, c, d là các số bất kì. Chứng minh rằng:

a⁴+b⁴+c⁴+d⁴ ≥ 4abcd

#Toán lớp 8

Luân Đào

5 tháng 5 2019

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương \(a^4,b^4,c^4,d^4\), ta có:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^4b^4}+2\sqrt{c^4d^4}\)

\(=2a^2b^2+2c^2d^2\ge2\sqrt{2a^2b^2\cdot2c^2d^2}=2\cdot2\left|abcd\right|=4\left|abcd\right|\ge4abcd\)

Dấu "=" khi a = b = c = d.

Cách khác áp dụng cho 4 số luôn:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4\left|abcd\right|\ge4abcd\).

Vậy......................

Đúng(0)

Vũ Thị Chi

5 tháng 5 2019

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

a⁴+ b⁴ ≥ 2a²b²

c⁴ + d⁴ ≥ 2c²d²

⇒ a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ ≥ 2a²b² + 2c²d²

⇔ VT ≥ 2\(\sqrt{4\text{a}^2b^2c^2d^2}\) = 4abcd = VP

Vậy a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ ≥ 4abcd

Đúng(0)

Dark❄Rain🏴‍☠️( Fire⭐Star )

25 tháng 7 2019 - olm

Chứng minh rằng : a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ \(\ge\)4abcd

#Toán lớp 8

T.Ps

25 tháng 7 2019

#)Giải :

Áp dụng BĐT Cauchy 2 số :

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\left(đpcm\right)\)

Đúng(0)

Nguyễn Linh Chi

25 tháng 7 2019

Với mọi a, b, c, d

ta có: \(0\le\left(a^2-b^2\right)^2=a^4-2a^2b^2+b^4\)

=> \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)

tương tự: \(c^4+d^4\ge2c^2d^2\)

\(a^2b^2+c^2d^2\ge2abcd\)

=> \(\left(a^4+b^4\right)+\left(c^4+d^4\right)\ge2a^2b^2+2c^2d^2=2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\ge4abcd\)

Vậy ta có điều cần phải chứng minh.

Đúng(0)

Minh Nguyễn

28 tháng 4 2017

Chứng minh a⁴ + b⁴+ c⁴ + d⁴\(\ge\) 4abcd

#Toán lớp 8

Nguyễn Tấn Tài

28 tháng 4 2017

Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4\cdot b^4\cdot c^4\cdot d^4}=4abcd\)

Vậy \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)

Đúng(0)

Xuân Tuấn Trịnh

28 tháng 4 2017

Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số không âm ta có:

a⁴+b⁴\(\ge\)2a²b²

c⁴+d⁴\(\ge\)2c²d²

=>a⁴+b⁴+c⁴+d⁴\(\ge\)2(a²b²+c²d²)(1)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2\\c^2=d^2\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT coossi cho 2 số không âm ta có:

a²b²+c²d²\(\ge\)2abcd

=>(1) tương đương a⁴+b⁴+c⁴+d⁴\(\ge\)4abcd

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}ab=cd\\a^2=b^2\\c^2=d^2\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=-b\\c=-d\end{matrix}\right.\)hoặc\(\left\{{}\begin{matrix}-a=b\\c=-d\end{matrix}\right.\)hoặc\(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\c=d\end{matrix}\right.\)

Vậy...

Đúng(0)

Trần Anh Thơ

24 tháng 4 2020

Cho a,b,c,d > 0. Chứng minh \(\frac{a^4}{a^3+2b^3}+\frac{b^4}{b^3+2c^3}+\frac{c^4}{c^3+2d^3}+\frac{d^4}{d^3+2a^3}\) ≥ \(\frac{a+b+c+d}{3}\)

#Toán lớp 8

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

24 tháng 4 2020

\(\frac{a^4}{a^3+2b^3}=a-\frac{2ab^3}{a^3+b^3+b^3}\ge a-\frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{a^3.b^3.b^3}}=a-\frac{2}{3}b\)

Tương tự ta có

\(\frac{b^4}{b^3+2c^3}\ge b-\frac{2}{3}c\) ; \(\frac{c^4}{c^3+2d^3}\ge c-\frac{2}{3}d\) ; \(\frac{d^4}{d^3+2a^3}\ge d-\frac{2}{3}a\)

Cộng vế với vế:

\(VT\ge a+b+c+d-\frac{2}{3}\left(a+b+c+d\right)=\frac{a+b+c+d}{3}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)

Đúng(0)

Trần Anh Thơ

24 tháng 4 2020

cảm ơn bạn nhé!

Đúng(0)

Phượng Hoàng

22 tháng 9 2018

Chứng minh rằng:

a, \(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)

b, \(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

c, \(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)

d, \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge ab+ac+ad\)

#Toán lớp 8

Luân Đào

29 tháng 12 2018

\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4\ge a^4+ab^3+a^3b+b^4\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge ab^3+a^3b\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(*)

Mà \(a^2+ab+b^2=\left(a^2+2\cdot a\cdot\dfrac{1}{2}b+\dfrac{b^2}{4}\right)+\dfrac{3b^2}{4}=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\)

Suy ra (*) đúng => đpcm

Dấu "=" xảy ra khi a = b

Đúng(0)

Luân Đào

29 tháng 12 2018

\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

\(\Leftrightarrow3a^4+3b^4+3c^4\ge a^4+ab^3+ac^3+a^3b+b^4+bc^3+a^3c+b^3c+c^4\)

\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4+2c^4\ge ab^3+a^3b+b^3c+bc^3+ca^3+c^3a\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4+b^4\right)+\left(b^4+c^4\right)+\left(c^4+a^4\right)\ge\left(a^3b+ab^3\right)+\left(b^3c+bc^3\right)+\left(c^3a+ca^3\right)\)

Theo câu a. thì điều này đúng

Dấu "=" khi a=b=c

Đúng(0)

lộc Nguyễn

15 tháng 8 2015 - olm

a)Chứng minh rằng nếu a^4 +b^4 +c^4 +d^4 =4abcd và a,b,c,d là các số dương thì a =b=c=d
b)Chứng minh rằng nếu m= a+ b +c thì (am+ bc )(bm+ac)(cm+ab)= (a+b)^2 (a+c )^2 (b+c)^2

#Toán lớp 8

Nguyễn Hải Minh

2 tháng 5 2021

b, Ta có \(m=a+b+c\)

\(\Rightarrow am+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=a\left(a+b\right)+ac+bc=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)

CMTT \(bm+ac=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\);\(cm+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

Suy ra \(\left(am+bc\right)\left(bm+ac\right)\left(cm+ab\right)=\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2\)

Đúng(0)

Vũ Công Thành

26 tháng 3 2018 - olm

Cho a, b, c, d > 0. CMR \(\frac{a^4}{a^3+2b^3}+\frac{b^4}{a^3+2b^3}+\frac{c^4}{c^3+2d^3}+\frac{d^4}{d^3+2a^3}\ge\frac{a+b+c+d}{3}\)

#Toán lớp 8

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP