Chứng minh rằng: \(a^4\) + \(b^4\) + \(c^4\) + \(d^4\) \(\ge\)</s...

Chứng minh rằng:\(a^4\)+\(b^4\)+\...

AV

Ánh Vũ Ngọc

9 tháng 3 2018

1, Chứng minh rằng: a, a\(^2\) + b\(^2\) + 1 \(\ge\) ab + a + b . b, a\(^2\) + b\(^2\) + c\(^2\) \(\ge\) a(b + c) . 2, Chứng minh rằng: Với mọi a, b, c thì ta có: a, a\(^2\) + b\(^2\) + c\(^2\) +3 \(\ge\) 2(a+b+c). b, (a+b+c)\(^2\) \(\le\) 3 (a\(^2\) + b\(^2\) +c\(^2\)). c, 8(a\(^4\) +b\(^4\)) \(\ge\)...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

3

PN

Phạm Nguyễn Tất Đạt

9 tháng 3 2018

1a)\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+1\right)\ge2\left(ab+b+a\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1

Đúng(0)

PN

Phạm Nguyễn Tất Đạt

9 tháng 3 2018

b)\(a^2+b^2+c^2\ge a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+b^2+c^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+b^2+c^2\ge0\)(luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=0

Đúng(0)

DA

Đức Anh Noo Nguyen

5 tháng 4 2019

Chúng minh rằng:\(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\)+\(d^2\)≥\(\frac{1}{4}\) với a+b+c+d=1

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

6 tháng 4 2019

\(a+b+c+d=1\Rightarrow\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}+\frac{d}{2}=\frac{1}{2}\)

Ta có:

\(a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{1}{2}=a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{a}{2}-\frac{b}{2}-\frac{c}{2}-\frac{d}{2}\)

\(=a^2-\frac{a}{2}+\frac{1}{16}+b^2-\frac{b}{2}+\frac{1}{16}+c^2-\frac{c}{2}+\frac{1}{16}+d^2-\frac{d}{2}+\frac{1}{16}-\frac{1}{4}\)

\(=\left(a-\frac{1}{4}\right)^2+\left(b-\frac{1}{4}\right)^2+\left(c-\frac{1}{4}\right)^2+\left(d-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{4}\ge-\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{4}\)

Đúng(0)

HQ

Hồ Quốc Đạt

12 tháng 11 2017

BT1: Chứng minh rằng nếu: \(a^3+b^3+c^3=3abc\) Và \(a,b,c\) dương thì a=b=c BT2: Nếu \(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\) Và \(a,b,c,d>0\). Chứng minh a=b=c=d BT3: Cho \(a^2+b^2=1\), \(c^2+d^2=1\), \(ac+bd=0\) Chứng minh:...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

3

S

SHIZUKA

13 tháng 11 2017

Lm dc hết chưa bn ơi.

Đúng(0)

MT

Mai Thành Đạt

13 tháng 11 2017

câu 2

a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd

<=> \(a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4+2a^2b^2-4abcd+2b^2d^2=0\)

<=> \(\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(ab-cd\right)^2=0\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2\\c^2=d^2\\ab=cd\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=d\)

Đúng(0)

HT

Hoàng Thùy Linh

26 tháng 5 2020

CMR:

a,(\(a^4+b^4\)) ≥ \(\left(a+b\right)^4\)

b,\(\left(a^2+b^2\right)\)≥ \(ab\left(a+b\right)^2\)

c, \(a^2+b^2+c^2\)≥ a(b+c)

d, \(a^2+b^2+c^2+d^2\)≥ a(b+c+d)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

0

CC

Công chúa thủy tề

5 tháng 7 2018 - olm

Biết \(a+b=1\). Chứng minh rằng:

\(a,a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)

\(b,a^4+b^4\ge\dfrac{1}{8}\)

\(c,a^8+b^8\ge\dfrac{1}{128}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

2

YY

Yim Yim

5 tháng 7 2018

áp dụng bất đằng thức buinhia

\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow1\le2\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

\(\left(a^2+b^2\right)^2\le\left(\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right)2\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^2\le2\left(a^4+b^4\right)\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\)

bài cuối tương tự

Đúng(0)

HN

Hoàng Ninh

5 tháng 7 2018

a, \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Với mọi a, b ta có:

\(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

Mà a + b = 1 \(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Vậy \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)( đpcm )

Các câu b, c tương tự

Đúng(0)

CY

Chuột yêu Gạo

5 tháng 7 2018

Biết \(a+b=1\). Chứng minh rằng:

\(a,a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)

\(b,a^4+b^4\ge\dfrac{1}{8}\)

\(c,a^8+b^8\ge\dfrac{1}{128}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

MS

Mashiro Shiina

5 tháng 7 2018

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:

\(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)

\(a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}{2}=\dfrac{1}{8}\)

\(a^8+b^8\ge\dfrac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{8}\right)^2}{2}=\dfrac{1}{128}\)

Đúng(0)

HL

Hang Le

21 tháng 3 2019

Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1, x3 + y3 \(\ge\)x2y+xy2 (x, y \(\ge\)0) 2, x4+ y4 \(\ge\)x3y+xy3 3, a2+b2+1\(\ge\)ab+a+b 4, a2+b2+c2+\(\frac{3}{4}\)\(\ge\)a+b+c 5,a2+b2+c2+d2\(\ge\)a(b+c+d) 6, x3-4x+5 >0 7, a4+b4+2 \(\ge\)4ab 8, \(\frac{ab}{a+b}\)+\(\frac{bc}{b+c}\)+\(\frac{ca}{c+a}\le\)\(\frac{a+b+c}{2}\)(với...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

2

NN

nguyễn ngọc dinh

21 tháng 3 2019

Ý 3 bạn bỏ dòng áp dụng....ta có nhé

\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}b+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}c+c^2\right)+\)\(\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{d}d+d^2\right)+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)+\left(\frac{a}{2}-c\right)+\)\(\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=d=0

6) Sai đề

Sửa thành:\(x^2-4x+5>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+1>0\)

7) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a+b\ge2.\sqrt{ab}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{ab}{2.\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\frac{cb}{c+b}\le\frac{cb}{2.\sqrt{cb}}=\frac{\sqrt{cb}}{2}\)

\(\frac{ca}{c+a}\le\frac{ca}{2.\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{ca}}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c

Cộng vế với vế của các BĐT trên ta có:

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\le\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}}{2}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c

Đúng(0)

NN

nguyễn ngọc dinh

21 tháng 3 2019

1)\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-xy+y^2\ge xy\) ( vì x;y\(\ge0\))

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng )

\(\Rightarrow x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

2) \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

3) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)\(\forall a\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2}\ge a\forall a\)

\(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\Leftrightarrow b^2-2b+1\ge0\)\(\forall b\Leftrightarrow\frac{b^2}{2}+\frac{1}{2}\ge b\forall b\)

\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\forall a;b\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}\ge ab\forall a;b\)

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:

\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1

4) \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\left[a^2-2.a.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[b^2-2.b.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[c^2-2.c.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a;b;c\)( luôn đúng)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/2

Đúng(0)

ML

Mai Linh

13 tháng 5 2019

1) Cho a, b là các số dương chứng minh rằng: \(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) ≥ \(\frac{4}{a+b}\) 2) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác chứng minh rằng: \(\frac{1}{a+b-c}\) + \(\frac{1}{a+c-b}\) + \(\frac{1}{b+c-a}\) ≥ \(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) + \(\frac{1}{c}\) ...

Đọc tiếp