Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2+y^3\geq x^3+y^4\)
\(\Rightarrow x^2+y^3+y^2\geq x^3+y^4+y^2\geq x^3+2\sqrt{y^6}\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^3+y^2\geq x^3+2y^3\Leftrightarrow x^2+y^2\geq x^3+y^3(1)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((x^3+y^3)(x+y)\geq (x^2+y^2)^2(2)\)
Từ \((1); (2)\Rightarrow (x^2+y^2)(x+y)\geq (x^3+y^3)(x+y)\geq (x^2+y^2)^2\)
\(\Leftrightarrow x+y\geq x^2+y^2(3)\)
Theo Bunhiacopxky: \((x^2+y^2)(1+1)\geq (x+y)^2(4)\)
Từ \((3); (4)\Rightarrow x+y\geq \frac{(x+y)^2}{2}\Rightarrow x+y\leq 2\)
Do đó: \(x^3+y^3\leq x^2+y^2\leq x+y\leq 2\Rightarrow \) đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$
Dùng bất đẳng thức phụ:(x+y)2≥4xy
Ta có (a+b)2≥4ab ;(c+b)2≥4cb;(a+c)2≥4ac
⇒(a+b)2(b+c)2(a+c)2≥64(abc)2
do đó (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
AD BĐT cô si cho số không âm
(a+b)(a+c)(b+c)\(\ge\)\(2\sqrt{ab}.2\sqrt{ac}.2\sqrt{bc}\)=8\(\sqrt{\left(abc\right)^2}\)=8abc
a) \(\exists a\in\mathbb{Z}:a=a^2\)
b) \(\forall x\in\mathbb{R}:x+0=x\)
c) \(\exists x\in\mathbb{Q}:x< \dfrac{1}{x}\)
d) \(\forall n\in\mathbb{N}:n>0\)