Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
\((2x+1)\sqrt{x^2-x+1}>(2x-1)\sqrt{x^2+x+1}\)
\(\Leftrightarrow (2x+1)\sqrt{4x^2-4x+4}> (2x-1)\sqrt{4x^2+4x+4}\)
\(\Leftrightarrow (2x+1)\sqrt{(2x-1)^2+3}>(2x-1)\sqrt{(2x+1)^2+3}\) (1)
Xét các TH sau:
TH1: \(\left\{\begin{matrix} 2x-1>0\\ 2x+1>0\end{matrix}\right.\Rightarrow x>0\)
Bình phương hai vế:
\((1)\Leftrightarrow (2x+1)^2[(2x-1)^2+3]\geq (2x-1)^2[(2x+1)^2+3]\)
\(\Leftrightarrow 3(2x+1)^2\geq 3(2x-1)^2\)
\(\Leftrightarrow (2x+1)^2\geq (2x-1)^2\)
\(\Leftrightarrow 8x\geq 0\) (đúng)
TH2: \(\left\{\begin{matrix} 2x-1<0\\ 2x+1<0\end{matrix}\right.\Rightarrow x<0\)
\((1)\Leftrightarrow -(2x+1)\sqrt{((x+1)^2+3}< -(2x-1)\sqrt{(2x+1)^2+3}\)
(nhân hai vế với 1 số âm thì phải đổi dấu)
Bây giờ 2 vế đều dương rồi. Bình phương hai vế:
\(\Leftrightarrow (2x+1)^2[(2x-1)^2+3]\geq (2x-1)^2[(2x+1)^2+3]\)
\(\Leftrightarrow 3(2x+1)^2< 3(2x-1)^2\)
\(\Leftrightarrow x< 0\) (đúng)
TH3: \(\left\{\begin{matrix} 2x+1>0\\ 2x-1<0\end{matrix}\right.\)
Khi đó, vế trái lớn hơn 0, vế phải nhỏ hơn 0 nên ta có đpcm.
TH4: \(\left\{\begin{matrix} 2x+1<0\\ 2x-1>0\end{matrix}\right.\) (TH này không thể xảy ra vì \(2x+1> 2x-1\)
TH5: \(x=-\frac{1}{2}\Rightarrow \text{VT}=0; \text{VP}< 0\Rightarrow \text{VT}> \text{VP}\)
TH6: \(x=\frac{1}{2}\Rightarrow \text{VT}>0; \text{VP}=0\Rightarrow \text{VT}>\text{VP}\)
Ta có đpcm.
@AD dragon Boy
SGK chưa phải lúc nào cũng đúng
bằng chứng vẫn có phần đinh chính kèm theo
mà 100% bạn chưa đọc cái đinh chính đó
=> 100% câu trả lời của bạn có thể chưa đúng
@thien minh
hd
đặt hai căn là a, b
\(a,=\dfrac{x+8\sqrt{x}+8-\left(\sqrt{x+2}\right)^2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}:\dfrac{x+\sqrt{x}+3+\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\)
\(=\dfrac{x+8\sqrt{x}+8-x-4\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}.\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{2\sqrt{x}+x+5}\)
\(=\dfrac{4\sqrt{x}-4}{2\sqrt{x}+x+5}\)
Vậy \(P=\dfrac{4\sqrt{x}-4}{2\sqrt{x}+x+5}\)
1) ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+x+1\ge0\\x^2+1\ne0\end{matrix}\right.\)
Ta có:
+) \(x^2+x+1=\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4}\)
\(=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\forall x\)
+) \(x^2+1\ge1>0\forall x\)
Vậy biểu thức luôn xác định với mọi x
2) ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2x+3>0\\x^2-x+1\ge0\end{matrix}\right.\)
Ta có:
+) \(x^2-2x+3=\left(x^2-2x+1\right)+2\)
\(=\left(x-1\right)^2+2\ge2>0\forall x\)
+) \(x^2-x+1=\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4}\)
\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\forall x\)
Vậy biểu thức luôn xác định với mọi x
Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P
Ta có:
\(P=\dfrac{\sqrt{xy+\left(x+y+z\right)z}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}\)
\(P\ge\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{xy}+z\right)^2}+\sqrt{\left(x+y\right)^2}}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{xy}+x+y+z}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{xy}+1}{1+\sqrt{xy}}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
giúp mk với ...đang cần gấp..
Đặt 2x - 1 = a
=> x = \(\dfrac{a+1}{2}\)
=> x2 - x + 1 = \(\dfrac{a^2+3}{4}\)
=> x2 + x + 1 = \(\dfrac{a^2+4a+7}{4}\)
(2x + 1)\(\sqrt{x^2-x+1}\) > (2x - 1)\(\sqrt{x^2+x+1}\) (1)
(a + 2)\(\sqrt{\dfrac{a^2+3}{4}}\) > a\(\sqrt{\dfrac{a^2+4a+7}{4}}\)
=> (a + 2)2 \(\dfrac{a^2+3}{4}\) > a2 \(\dfrac{a^2+4a+7}{4}\)
=> a2(a + 2)2 + 3(a + 2)2 > a2(a + 2)2 + 3a2
=> 3a2 + 12(a + 1) > 3a2 (đúng) (2)
(2) đúng => (1) đc CM