Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
xa xa, các bạn sẽ thấy lũy tre như bức tuờng thành kiên cố đang bảo vệ bao quanh thôn xóm mìnhcây tre nhỏ nhắn với thân dài thẳng, được chia thành những đốt nhỏ đều nhau. Thân cây thường có màu xanh thẫm, các đốt thì có màu hơi xanh đậm hơi vàng. Cây tre không đứng riêng lẻ với nhau, mà thường tạo thành từng lũy với cây này tựa cây kia, dựa vào nhau cùng vươn lên bất chấp nắng mưa để đón lấy ánh sớm bình minh. Các nhánh tre thường không mọc trên cao mà mọc ngay gần dưới đất, chúng có rất nhiều gai gồ ghề và thường rất nhỏ. Còn lá tre thì mỏng, nhọn, to chỉ bằng nửa lá xoài mà thôi, tuy lá tre trông mảnh khảnh nhưng rất dẻo dai. Họ nhà tre có đến vài chục loại khác nhau, nhưng cùng một điểm tương đồng, đó là cùng có mầm non măng mọc thẳng. Và tre cũng có hoa đó các bạn, nhưng phải hơn 100 năm nó mới ra hoa một lần. Hoa tre mọc thành từng chùm có màu vàng nhạt. Mùi thơm của hoa tre cũng rất đặc biệt đó ạ! Cây tre có nhiều loại, mỗi loại lại mang đến cho chúng ta một công dụng riêng. Có tre to để đan lát, có tre để làm hàng thủ công. Tre còn có thể được sử dụng để làm nhà cửa, lều quán. Tre gai lại là người canh gác giúp cho cho luỹ làng ta trở nên kiên cố..Không chỉ trở thành những vật dụng đồng hành cùng người nông dân trong cuộc sống thường ngày, cuộc sống lao động, cây tre còn có vai trò rất quan trọng trong thời kháng chiến. Ở đó, “tre giữ làng, giữ nước, giữ mái nhà tranh, giữ đồng lúa chín” (Thép Mới). Trong lúc mà dân ta chưa có vũ khí hiện đại, vu khí đều sử dụng phụ thuộc cả vào thiên nhiên. Tre với tính chất dẻo dai mà cứng rắn đã trở thành một vũ khí vô cùng lợi hại của dân ta. Chúng ta ắt hẳn vẫn còn nhớ tới truyền thuyết Thánh Gióng, bẻ tre bên đường, đánh cho quân xâm lược không còn manh giáp. Hay sự kiện Ngô Quyền dùng cọc tre và lợi dụng thủy triều đánh tan quân Nam Hán trên song Bạch Đằng vào năm 938. Đó là minh chứng rất cụ thể cho vai trò to lớn của cây tre trong những trận chiến khốc liệt dành độc lập dân tộc. Có tầm quan trọng như vậy, từ lâu cây tre đã đi vào tiềm thức của người dân Việt với rất nhiều biểu tượng. Tre luôn mọc thành lũy, thành hàng chứ không bao giờ mọc một mình, đó là tinh thần đoàn kết, đồng lòng. Tre mọc thẳng, mọc cao, không bao giờ mọc nghiêng, cùng sự dẻo dai dễ sống của cây là biểu hiện rõ nhất cho sự kiên cường, bất khuất. Đó đều là những phẩm chất đáng quý của con người Việt Nam, dân tộc Việt Nam, nên mới nói, nhắc đến cây tre là nhắc đến con người Việt Nam. Tre thật đẹp, thật có ích. Tre là biểu tượng không thể phai đổi, không thể mất đi, tre già măng mọc, sẽ còn mãi đến mai sau. Dù là chiến tranh đã lùi xa, cuộc sống trở nên hiện đại hơn nhưng cây tre vẫn mãi giữ một vị trí quan trọng trong tâm hồn người Việt.
bài 5:Gọi a là số nguyên đầu tiên trong dãy 3 số nguyên liên tiếp. Ta có dãy số nguyên liên tiếp là a, a+1, a+2. Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp là: a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3 = a^3 + (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) + (a^3 + 6a^2 + 12a + 8) = 3a^3 + 9a^2 + 15a + 9 = 3(a^3 + 3a^2 + 5a + 3) = 3(a(a^2 + 3a + 3) + 3(a + 1)) Ta thấy a(a^2 + 3a + 3) là một số nguyên, và 3(a + 1) cũng là một số nguyên. Vậy tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9.
bài 6:a) Để chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3. - Đầu tiên, ta chứng minh rằng n(n + 1) chia hết cho 2. Ta biết rằng một trong hai số liên tiếp n và n + 1 phải là số chẵn. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 2. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3. Ta biết rằng một trong ba số liên tiếp n, n + 1 và 2n + 1 phải chia hết cho 3. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 3. Vậy, n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3, nên nó chia hết cho 6. b) Để chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 120, ta cần chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8. - Đầu tiên, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 2. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 2 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 2. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 2 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 2. Và n cũng chia hết cho 2. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 2. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 3. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 3 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 3. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 3 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 3. Và n cũng chia hết cho 3. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 3. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 4. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 4 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 4. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 4 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 4. Và n cũng chia hết cho 4. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 4. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 5. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 5 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 5. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 5 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 5. Và n cũng chia hết cho 5. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 5. - Cuối cùng, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 8. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 8 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 8. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 8 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 8. Và n cũng chia hết cho 8. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 8. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8, nên nó chia hết cho 120.
bài 7:Để chứng minh rằng n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp. Bước 1: Kiểm tra đẳng thức đúng với n = 1: 1^4 + 6(1)^3 + 11(1)^2 + 6(1) = 1 + 6 + 11 + 6 = 24, là số chia hết cho 24. Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k chia hết cho 24. Bước 3: Chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là (k + 1)^4 + 6(k + 1)^3 + 11(k + 1)^2 + 6(k + 1) chia hết cho 24. Ta có: (k + 1)^4 + 6(k + 1)^3 + 11(k + 1)^2 + 6(k + 1) = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 6(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 11(k^2 + 2k + 1) + 6(k + 1) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + (4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 6k^3 + 18k^2 + 18k + 6 + 11k^2 + 22k + 11 + 6k + 6) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + (10k^3 + 35k^2 + 32k + 18) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + 2(5k^3 + 17k^2 + 16k + 9) Vì k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k chia hết cho 24 theo giả thiết quy nạp, và 5k^3 + 17k^2 + 16k + 9 cũng chia hết cho 24 (có thể chứng minh bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp tương tự), nên tổng của hai số này cũng chia hết cho 24. Vậy, theo nguyên lý quy nạp, ta có thể kết luận rằng n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
bài 8:a) Ta có: n^2 + 4n + 3 = (n + 1)(n + 3) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n + 1 và n + 3 đều là số chẵn. Vậy (n + 1)(n + 3) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng n + 1 và n + 3 có tích là một số chẵn. Vậy (n + 1)(n + 3) chia hết cho 4. Do đó, (n + 1)(n + 3) chia hết cho 8. b) Ta có: n^3 + 3n^2 - n - 3 = (n - 1)(n^2 + 4n + 3) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n - 1 là số chẵn. Vậy (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng n - 1 và n^2 + 4n + 3 có tích là một số chẵn. Vậy (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 4. Do đó, (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 8. c) Ta có: n^12 - n^8 - n^4 + 1 = (n^12 - n^8) - (n^4 - 1) = n^8(n^4 - 1) - (n^4 - 1) = (n^8 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)^2 = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n^2 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n + 1 và n - 1 đều là số chẵn. Vậy (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) có tích là một số chẵn. Vậy (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 4. Do đó, (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 8. Vậy ta đã chứng minh được các phần a), b), c).
bài 9:a) Ta có p > 3 là số nguyên tố, suy ra p là số lẻ. Vì vậy, p^2 là số lẻ. Ta có thể biểu diễn p^2 - 1 dưới dạng (p - 1)(p + 1). Vì p là số lẻ, nên p - 1 và p + 1 đều là số chẵn. Do đó, (p - 1)(p + 1) là tích của hai số chẵn liên tiếp, nên chia hết cho 2. Ngoài ra, vì p là số nguyên tố, nên p không chia hết cho 3. Do đó, p - 1 và p + 1 đều không chia hết cho 3. Vậy, (p - 1)(p + 1) chia hết cho 2 và không chia hết cho 3. Từ đó, suy ra p^2 - 1 chia hết cho 2 x 3 = 6. Vì p^2 - 1 chia hết cho 6, nên p^2 - 1 chia hết cho 2 x 3 x 4 = 24. b) Ta có p > 3 và q > 3 là hai số nguyên tố, suy ra p và q đều là số lẻ. Ta có thể biểu diễn p^2 - q^2 dưới dạng (p - q)(p + q). Vì p và q là số lẻ, nên p - q và p + q đều là số chẵn. Do đó, (p - q)(p + q) là tích của hai số chẵn liên tiếp, nên chia hết cho 2. Ngoài ra, vì p và q là số nguyên tố, nên p không chia hết cho 3 và q không chia hết cho 3. Do đó, p - q và p + q đều không chia hết cho 3. Vậy, (p - q)(p + q) chia hết cho 2 và không chia hết cho 3. Từ đó, suy ra p^2 - q^2 chia hết cho 2 x 3 = 6. Vì p^2 - q^2 chia hết cho 6, nên p^2 - q^2 chia hết cho 2 x 3 x 4 = 24.
bài 10:Ta có: 11n = 12n - n Vậy ta cần chứng minh rằng n^3 + 12n - n chia hết cho 6 với mọi số n thuộc Z. Ta thấy n^3 + 12n - n = n(n^2 + 12 - 1) = n(n^2 + 11) Để chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng n(n^2 + 11) chia hết cho cả 2 và 3. - Chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 2: Nếu n chẵn, thì n chia hết cho 2, n^2 cũng chia hết cho 2, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 2. Nếu n lẻ, thì n chia hết cho 2, n^2 chia hết cho 4, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 2. - Chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 3: Nếu n chia hết cho 3, thì n(n^2 + 11) chia hết cho 3. Nếu n không chia hết cho 3, ta có 3 trường hợp: + n = 3k + 1, thì n^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1, nên n^2 + 11 = 3(3k^2 + 2k + 3) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. + n = 3k + 2, thì n^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1, nên n^2 + 11 = 3(3k^2 + 4k + 4) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. + n = 3k, thì n^2 = 9k^2, nên n^2 + 11 = 9k^2 + 11 = 3(3k^2 + 3) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. Vậy ta đã chứng minh được rằng n(n^2 + 11) chia hết cho cả 2 và 3, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 6 với mọi số n thuộc Z.
a) Để chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3. - Đầu tiên, ta chứng minh rằng n(n + 1) chia hết cho 2. Ta biết rằng một trong hai số liên tiếp n và n + 1 phải là số chẵn. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 2. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3. Ta biết rằng một trong ba số liên tiếp n, n + 1 và 2n + 1 phải chia hết cho 3. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 3. Vậy, n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3, nên nó chia hết cho 6. b) Để chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 120, ta cần chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8. - Đầu tiên, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 2. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 2 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 2. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 2 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 2. Và n cũng chia hết cho 2. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 2. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 3. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 3 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 3. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 3 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 3. Và n cũng chia hết cho 3. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 3. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 4. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 4 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 4. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 4 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 4. Và n cũng chia hết cho 4. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 4. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 5. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 5 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 5. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 5 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 5. Và n cũng chia hết cho 5. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 5. - Cuối cùng, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 8. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 8 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 8. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 8 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 8. Và n cũng chia hết cho 8. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 8. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8, nên nó chia hết cho 120.
Để chứng minh rằng n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp. Bước 1: Kiểm tra đẳng thức đúng với n = 1: 1^4 + 6(1)^3 + 11(1)^2 + 6(1) = 1 + 6 + 11 + 6 = 24, là số chia hết cho 24. Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k chia hết cho 24. Bước 3: Chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là (k + 1)^4 + 6(k + 1)^3 + 11(k + 1)^2 + 6(k + 1) chia hết cho 24. Ta có: (k + 1)^4 + 6(k + 1)^3 + 11(k + 1)^2 + 6(k + 1) = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 6(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 11(k^2 + 2k + 1) + 6(k + 1) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + (4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 6k^3 + 18k^2 + 18k + 6 + 11k^2 + 22k + 11 + 6k + 6) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + (10k^3 + 35k^2 + 32k + 18) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + 2(5k^3 + 17k^2 + 16k + 9) Vì k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k chia hết cho 24 theo giả thiết quy nạp, và 5k^3 + 17k^2 + 16k + 9 cũng chia hết cho 24 (có thể chứng minh bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp tương tự), nên tổng của hai số này cũng chia hết cho 24. Vậy, theo nguyên lý quy nạp, ta có thể kết luận rằng n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
a) Ta có: n^2 + 4n + 3 = (n + 1)(n + 3) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n + 1 và n + 3 đều là số chẵn. Vậy (n + 1)(n + 3) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng n + 1 và n + 3 có tích là một số chẵn. Vậy (n + 1)(n + 3) chia hết cho 4. Do đó, (n + 1)(n + 3) chia hết cho 8. b) Ta có: n^3 + 3n^2 - n - 3 = (n - 1)(n^2 + 4n + 3) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n - 1 là số chẵn. Vậy (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng n - 1 và n^2 + 4n + 3 có tích là một số chẵn. Vậy (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 4. Do đó, (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 8. c) Ta có: n^12 - n^8 - n^4 + 1 = (n^12 - n^8) - (n^4 - 1) = n^8(n^4 - 1) - (n^4 - 1) = (n^8 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)^2 = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n^2 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n + 1 và n - 1 đều là số chẵn. Vậy (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) có tích là một số chẵn. Vậy (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 4. Do đó, (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 8. Vậy ta đã chứng minh được các phần a), b), c).
a) Ta có p > 3 là số nguyên tố, suy ra p là số lẻ. Vì vậy, p^2 là số lẻ. Ta có thể biểu diễn p^2 - 1 dưới dạng (p - 1)(p + 1). Vì p là số lẻ, nên p - 1 và p + 1 đều là số chẵn. Do đó, (p - 1)(p + 1) là tích của hai số chẵn liên tiếp, nên chia hết cho 2. Ngoài ra, vì p là số nguyên tố, nên p không chia hết cho 3. Do đó, p - 1 và p + 1 đều không chia hết cho 3. Vậy, (p - 1)(p + 1) chia hết cho 2 và không chia hết cho 3. Từ đó, suy ra p^2 - 1 chia hết cho 2 x 3 = 6. Vì p^2 - 1 chia hết cho 6, nên p^2 - 1 chia hết cho 2 x 3 x 4 = 24. b) Ta có p > 3 và q > 3 là hai số nguyên tố, suy ra p và q đều là số lẻ. Ta có thể biểu diễn p^2 - q^2 dưới dạng (p - q)(p + q). Vì p và q là số lẻ, nên p - q và p + q đều là số chẵn. Do đó, (p - q)(p + q) là tích của hai số chẵn liên tiếp, nên chia hết cho 2. Ngoài ra, vì p và q là số nguyên tố, nên p không chia hết cho 3 và q không chia hết cho 3. Do đó, p - q và p + q đều không chia hết cho 3. Vậy, (p - q)(p + q) chia hết cho 2 và không chia hết cho 3. Từ đó, suy ra p^2 - q^2 chia hết cho 2 x 3 = 6. Vì p^2 - q^2 chia hết cho 6, nên p^2 - q^2 chia hết cho 2 x 3 x 4 = 24.
Ta có: 11n = 12n - n Vậy ta cần chứng minh rằng n^3 + 12n - n chia hết cho 6 với mọi số n thuộc Z. Ta thấy n^3 + 12n - n = n(n^2 + 12 - 1) = n(n^2 + 11) Để chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng n(n^2 + 11) chia hết cho cả 2 và 3. - Chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 2: Nếu n chẵn, thì n chia hết cho 2, n^2 cũng chia hết cho 2, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 2. Nếu n lẻ, thì n chia hết cho 2, n^2 chia hết cho 4, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 2. - Chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 3: Nếu n chia hết cho 3, thì n(n^2 + 11) chia hết cho 3. Nếu n không chia hết cho 3, ta có 3 trường hợp: + n = 3k + 1, thì n^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1, nên n^2 + 11 = 3(3k^2 + 2k + 3) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. + n = 3k + 2, thì n^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1, nên n^2 + 11 = 3(3k^2 + 4k + 4) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. + n = 3k, thì n^2 = 9k^2, nên n^2 + 11 = 9k^2 + 11 = 3(3k^2 + 3) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. Vậy ta đã chứng minh được rằng n(n^2 + 11) chia hết cho cả 2 và 3, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 6 với mọi số n thuộc Z.
Lời giải. Bước cơ sở: Với n = 1, ta có S1 = 1 + 1 = 2 chia hết cho 21 = 2. Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với n = k, nghĩa là Sk = (k + 1)(k + 2) ...(k + k) chia hết cho 2k , ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Thật vậy, Sk+1 = (k + 2)(k + 3) ...[(k+1) + (k+1)]= 2(k + 1)(k + 2)...(k + k) = 2Sk. Theo giả thiết quy nạp Sk chia hết cho 2k , suy ra Sk+1 chia hết cho 2k+1. Theo nguyên lí quy nạp toán học Sn chia hết 2n với mọi n nguyên dương.
Vì 3^m+5^n chia hết cho 8, 8^n+8^m chia hết cho 8
=>(8^m+8^n) - (3^m+5^n) chia hết cho 8
=>3^n+5^m chia hết cho 8
Giả sử m,n đều là số chẵn .
Đặt n = 2a , m = 2b ( a,b thuộc Z+ ; a,b 》1 )
=> 3^m = 3^2b = 9^b đd 1 ( mod 8 ) ; 5^n = 5^2a = 25^a đd 1 ( mod 8 )
=> 3^m + 5^n đd 2 ( mod 8 ) ( trái với giả thiết )
=> Điều giả sử sai
=> m,n không cùng là số chẵn
Tương tự : Nếu trong 2 số m,n có 1 số chẵn , 1 số lẻ không thỏa mãn giả thiết
=> Cả m,n đều là số lẻ
Xét tổng 3^m + 5^n + 3^n + 5^m = ( 3^m + 5^m ) + ( 3^n + 5^n )
= ( 3 + 5 ).( 3^m-1 - 3^m-2.5 + ... + 5^m-1 ) + ( 3 + 5 ).( 3^n-1 - ... + 5^n-1 ) ( Vì m,n đều là số lẻ )
= 8.M + 8.N chia hết cho 8
Mà 3^m + 5^n chia hết cho 8 ( giả thiết )
=> 3^n + 5^m chia hết cho 8 ( đpcm )
Vậy 3^n + 5^m chia hết cho 8 .