Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Biến đổi vế trái ta có:
\(x^2+x\sqrt{3}+1=x^2+2\cdot x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\frac{1}{4}=VP\)
Vậy đẳng thức trên được chứng minh
b) \(x^2+x\sqrt{3}+1=\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\)
Vì: \(\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\ge0\)
=> \(\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\)
Vậy GTNN của biểu thức trên là \(\frac{1}{4}\) khi \(x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Ta có:
\(P=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right).\left(\frac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2\)
\(P=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}\right).\frac{\left(1-x\right)^2}{2}\)
\(P=\left(\frac{-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}\right).\frac{\left(x-1\right)^2}{2}\)
\(P=\left(\frac{-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}\right).\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{2}\)
\(P=\left(-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}-1\right)\)
\(P=\sqrt{x}-x\)
b) Để \(P>0\) thì \(\sqrt{x}-x>0\)
- \(\sqrt{x}-x>0\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}\left(1-\sqrt{x}\right)>0\)
Suy ra: TH1: \(\sqrt{x}< 0\) và \(1-\sqrt{x}< 0\) (Loại) vì \(\sqrt{x}\ge0\)
TH2:\(\sqrt{x}>0\) và \(1-\sqrt{x}>0\) (Nhận)
Ta có \(\sqrt{x}>0\) và \(1-\sqrt{x}>0\) để \(P>0\)
- \(\sqrt{x}>0\) \(\Rightarrow x>0\)
- \(1-\sqrt{x}>0\) \(\Rightarrow\sqrt{x}< 1\) \(\Rightarrow x< 1\)
Vậy để \(P>0\) thì \(0< x< 1\)
c)\(P=\sqrt{x}-x\)
\(P=-\left(x-\sqrt{x}\right)\)
\(P=-\left(\left(\sqrt{x}\right)^2-2.\frac{1}{2}.\sqrt{x}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)\)
\(P=-\left(\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\right)\)
\(P=-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\)
Vì \(\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2\le0\)
Nên \(-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0\) \(\Rightarrow x=\frac{1}{4}\)
Vậy GTLN của \(P\) là \(\frac{1}{4}\) khi \(x=\frac{1}{4}\)
a( \(P=\frac{x-3}{\sqrt{x-1}-\sqrt{2}}\)(ĐKXĐ : \(1\le x\ne3\))
\(=\frac{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2}\right)}{\left(x-3\right)}=\sqrt{x-1}+\sqrt{2}\)
b) \(x=4\left(2-\sqrt{3}\right)\Rightarrow x-1=7-4\sqrt{3}=\left(2-\sqrt{3}\right)^2\)
Thay vào P được : \(P=2-\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
c) Với mọi \(x\ge1,x\ne3\)ta luôn có \(\sqrt{x-1}\ge0\Rightarrow\) \(P=\sqrt{x-1}+\sqrt{2}\ge\sqrt{2}\). Dấu "=" xảy ra khi x = 1
Vậy Min P = \(\sqrt{2}\Leftrightarrow x=1\)
2. a) \(Q=\frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1}\)(ĐKXĐ: \(-2\le x\ne-1\))
\(=\frac{\left(\sqrt{x+2}-1\right)\left(\sqrt{x+2}+1\right)}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x+2}+1\right)}=\frac{x+2-1}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x+2}+1\right)}=\frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x+2}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{x+2}+1}\)b) \(x=40,25=\frac{161}{4}\Rightarrow x+2=\frac{169}{4}\Rightarrow Q=\frac{1}{\sqrt{\frac{169}{4}}+1}=\frac{1}{\frac{13}{2}+1}=\frac{2}{15}\)
c) Ta có : \(Max_Q\Leftrightarrow Min_{\left(\sqrt{x+2}+1\right)}\)
Mà : \(\sqrt{x+2}+1\ge1\) với mọi \(-2\le x\ne-1\)
Do đó Max Q = 1 \(\Leftrightarrow x=-2\)
Áp dụng bđt Cô-si có
\(\left(x^2+1\right)+1\ge2\sqrt{\left(x^2+1\right).1}=2\sqrt{x^2+1}\)
\(\Rightarrow x^2+2\ge2\sqrt{x^2+1}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\ge2\)
\(\Rightarrow P_{min}=2\)
Dấu "=" tại x = 0