Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bởi vì nếu vẽ bất cứ một đường chéo nào trên tứ giác thì đều chia tứ giác thành hai tam giác. Mà tổng các góc trong 1 tam giác bằng 180 độ suy ra tổng các góc trong 1 tứ giác bằng 180. 2=360 độ
Giả sử tứ giác đó là ABCE, các điểm M,N,P,Q ,E,F lần lượt là trung điểm của các đoạn : AB, BC,CD, DA ,BD và AC
Ta chứng minh được EMFP, QENF, MNPQ là hình bình hành ( cái này chỉ cần sử dụng đường trung bình là được )
từ đó suy ra MP, QN, EF đồng qui tại trung điểm G của EF ( vì 3 hình bình hành trên đồng tâm )
Gọi A^1, B^1, C^1 là 3 góc trong của tam giác ABC. A^2, B^2,C^2 là 3 góc ngoài của tam giác ABC.
Ta có: A^1 + A^2 = 180* B^1 + B^2 = 180* C^1 + C^2 = 180*
---------------------
Cộng vế theo vế được: A^1 +B^1 +C^1 +A^2 +B^2 +C^2 = 3.180* mà A^1 +B^1 +C^1 = 180* (tổng 3 góc trong của tam giác)
=> A^2 +B^2 +C^2 = 3.180* - 180* = 2.180* = 360*
a) tgiác ABC có MN là đường trung bình => MN // AC và MN = AC/2
tgiác DAC có PQ là đường trung bình => PQ // AC và PQ = AC/2
vậy: MN // PQ và MN = PQ => MNPQ là hình bình hành
mặt khác xét tương tự cho hai tgiác ABD và CBD ta cũng có:
NP // BD và NP = BD/2
do giả thiết AC_|_BD => AC_|_NP mà MN // AC => MN_|_NP
tóm lại MNPQ là hình chữ nhật (hbh có một góc vuông)
b) MNPQ là hình vuông <=> MN = NP <=> AC/2 = BD/2 <=> AC = BD
vậy điều kiện là: tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc và bằng nhau
-------------
Nguồn:__|nobita|__
cách 2
a) Gọi QM giao AC tại F,AC giao BD tại K
ta có QM là đường trung bình của tam giác ADB
suy ra: QM// DB
ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC
suy ra: MN// AC
ta có PN là đường trung bình của tam giác BCD
suy ra: PN// DB
ta có PQ là đường trung bình của tam giác ADC
suy ra: PQ// AC
từ đó ta có : QM//PN(cùng song song DB)
MN//PQ(cùng song song AC)
suy ra MNPQ là hình bình hành
QM//DB suy ra:góc AKB=góc AFM=90 độ
MN//AC suy ra:góc AFM= góc FMN= 90 độ
hình bình hành MNPQ có góc FMN=90 độ
suy ra MNPQ là hình chữ nhật
b)thuận:giả sử
MNPQ là hình vuông
suy ra MN=QM
ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC
suy ra MN=1/2*AC
ta có QM là đường trung bình của tam giác ADC
suy ra QM=1/2*BD
MN=QM
suy ra BD= AC
vậy tứ giác ABCD cần thêm điều kiện là AC=BD để MNPQ là hình vuông
dễ lắm :)