K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

8 tháng 4 2017

gọi dãy số trên là A

ta có A<\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2013.2014}\)

A<1-\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}\)

A<1-\(\frac{1}{2014}\)=\(\frac{2013}{2014}\)

Vậy A < \(\frac{2013}{2014}\)

8 tháng 4 2017

ko biết

12 tháng 5 2017

Đặt A = \(\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-...-\frac{2014}{3^{2014}}\)

3A = \(1-\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}-....-\frac{2014}{3^{2013}}\)

3A + A = \(\left(1-\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}-...-\frac{2014}{3^{2013}}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-....-\frac{2014}{3^{2014}}\right)\)

4A = \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-...-\frac{1}{3^{2013}}-\frac{2014}{3^{2014}}\)

=> 4A < \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-...-\frac{1}{3^{2013}}\)    (1)

Đặt B = \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-...-\frac{1}{3^{2013}}\)

3B = \(3-1+\frac{1}{3}-...-\frac{1}{3^{2012}}\)

3B + B = \(\left(3-1+\frac{1}{3}-...-\frac{1}{3^{2012}}\right)+\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-...-\frac{1}{3^{2013}}\right)\)

4B = \(3-\frac{1}{3^{2013}}\)

=> 4B < 3 => B < \(\frac{3}{4}\)(2)
Từ (1)(2) => 4A < B < \(\frac{3}{4}\)=> A < \(\frac{3}{16}\)<\(\frac{1}{5}\)(dpcm)

12 tháng 5 2017

Nhanh nha

14 tháng 5 2015

Đây là bài chứng minh chứ ko phải tính đúng ko?

8 tháng 5 2016

Ta có : A = 1/3 - 2/3^2 + 3/3^3 - 4/3^4 +...- 2014/3^2014

=> 3A = 1 - 2/3 + 3/3^2 - 4/3^3 +...- 2014/3^2013

=> 4A = 1- 1/3 + 1/3^2 -...- 1/3^2013 - 2014/3^2014

Xét B = 1-1/3+1/3^2 -...- 1/3^2013

=> 3B = 3 - 1 + 1/3 -...- 1/3^2012

=> 4B = 3- 1/3^2013

=> B = (3- 1/3^2013)/4 < 3/4

=> 4A < 3/4 - 2014/3^2014< 3/4

=> A < 3/16 < 3/15 =1/5

Vậy A < 1/5 (đpcm)

Chúc bạn học tốt

11 tháng 3 2022

Xét \(4S=1+\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4^2}+\dfrac{4}{4^3}+...+\dfrac{2014}{4^{2013}}\)

=> \(3S=4S-S=\left(1+\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4^2}+...+\dfrac{2014}{4^{2013}}\right)-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4^2}+...+\dfrac{2014}{4^{2014}}\right)\)

=> \(3S=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{4^{2013}}-\dfrac{2014}{4^{2014}}< 1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{4^{2013}}\)

Đặt \(A=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{4^{2013}}\)

=> \(4A=4+1+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{4^{2012}}\)

=> \(3A=4A-A=\left(4+1+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{4^{2012}}\right)-\left(1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{4^{2013}}\right)\)

=> \(3A=4-\dfrac{1}{4^{2013}}< 4\)

=> \(A< \dfrac{4}{3}\)

=> \(3S< \dfrac{4}{3}\)

=> \(S< \dfrac{4}{9}< \dfrac{1}{2}\)

\(4S=1+\frac{2}{4}+\frac{3}{4^2}+....+\frac{2014}{4^{2013}}\)

\(4S-S=3S=1+\frac{2}{4}+\frac{3}{4^2}+....+\frac{2014}{4^{2013}}-\left(\frac{1}{4}+\frac{2}{4^2}+\frac{3}{4^3}+....+\frac{2014}{4^{2014}}\right)\)

\(3S=1+\left(\frac{2}{4}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{3}{4^2}-\frac{2}{4^2}\right)+......+\left(\frac{2014}{4^{2013}}-\frac{2013}{4^{2013}}\right)-\frac{2014}{4^{2014}}\)

\(3S=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+.....+\frac{1}{4^{2013}}-\frac{2014}{4^{2014}}\)

đặt \(A=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+....+\frac{1}{4^{2023}}\)

\(4A-A=4+1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+.....+\frac{1}{4^{2022}}-\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+....+\frac{1}{4^{2023}}\right)\)

\(3A=4-\frac{1}{4^{2023}}\)

\(A=\frac{4}{3}-\frac{1}{3.4^{2023}}\)

\(\Rightarrow3S=\frac{4}{3}-\frac{1}{3.4^{2023}}-\frac{2014}{4^{2024}}\)

\(\Rightarrow S=\frac{4}{9}-\frac{1}{9.4^{2023}}-\frac{2014}{3.4^{2024}}\)

do \(\frac{4}{9}< \frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow S=\frac{4}{9}-\frac{1}{9.4^{2023}}-\frac{2014}{3.4^{2024}}< \frac{4}{8}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

23 tháng 1 2018

^ là dấu phân số nhé

cho A=1^1.2+1^2.3+...+1^2014.2015

1^1.2>1^4; 1^2.3>2^42; 1^3.4>3^43;...;1^2014.2015>2014^42014

mà A=1^1.2+1^2.3+...+1^2104.2015=1-1^2+1^2-1^3+1^3+...+1^2014-1^2015

A=1-1^2015=2014^2015

mà 2014^2015>1^2>S nên 1^2>S