K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
PV
1
17 tháng 12 2022
\(M=4\left[a\left(a+b+c\right)\right]\left[\left(a+b\right)\left(a+c\right)\right]+b^2c^2\)
=4(a^2+ab+ac)(a^2+ab+bc+ac)+b^2c^2
=4(a^2+ab+ac)^2+4*bc(a^2+ab+ac)+b^2c^2
=(2a^2+2ab+2ac+bc)^2 là số chính phương
16 tháng 12 2016
a) Có: \(\left(a-1\right)^2\ge0,\forall a\)
\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2a+1\ge4a\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2\ge4a\)
=>đpcm
b) Áp dụng bđt trên ta có:
\(\left(a+1\right)^2\ge4a\) (1)
\(\left(b+1\right)^2\ge4b\) (2)
\(\left(c+1\right)^2\ge4c\) (3)
Nhân vế vs vế (1) ; (2);(3) ta đc:
\(\left(a+1\right)^2\left(b+1\right)^2\left(c+1\right)^2\ge4a\cdot4b\cdot4c=64abc=64\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\)
5 tháng 6 2021
\(4.\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2+abc}{a^2b+b^2c+c^2a+abc}-1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{a^2b+b^2c+c^2a+abc}-2.\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-2\left(a^2b+b^2c+c^2a+abc\right)\right]}{\left(a^2b+b^2c+c^2a+abc\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left[\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\right]^2}{\left(a^2b+b^2c+c^2a+abc\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)
Bất đẳng thức hiển nhiên đúng
Vậy ta có điều phải chúng minh. Dấu hằng đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
-Chúc bạn học tốt-
5 tháng 6 2021
Bạn giải thích hộ mình từ dòng 1 xuống dòng 2 đc ko ạ ?
14 tháng 4 2017
a)
(a+1)2>=4a
<=> a2 +2a+1>=4a
<=>a2 -2a+1>=0
<=>(a-1)2>=0 với mọi a
Mà các phép biến đổi trên tương đương
=> đpcm
C
22 tháng 9 2019
Áp dụng BĐT ở câu a)
\(\left(a+1\right)^2\ge4a\Leftrightarrow\sqrt{\left(a+1\right)^2}\ge\sqrt{4a}\)
Mà a dương nên \(BĐT\Leftrightarrow a+1\ge2\sqrt{a}\)
Chứng minh tương tự: \(b+1\ge2\sqrt{b}\)
\(c+1\ge2\sqrt{c}\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\sqrt{abc}=8\)(Vì abc = 1)
QH
2 tháng 8 2015
a) (a-1)^2 >= 0 <=> a^2 - 2a + 1 >= 0 <=> a^2 + 2a + 1 > 4a <=> (a+1)^2 >= 4a
b) Áp dụng bđt trên: \(\left(a+1\right)^2\ge4a\Leftrightarrow\sqrt{\left(a+1\right)^2}\ge2\sqrt{a}\)
mà \(\sqrt{\left(a+1\right)^2}=\left|a+1\right|\) Do a > 0 nên a+1>0. Vậy |a+1| = a + 1
Khi đó: a+1 >= 2 căn a
Tương tự ta có b+1 >= 2 căn b và c+1 >= 2 căn c
=> (a+b)(b+a)(c+1) >= 8 căn abc = 8
7 tháng 12 2018
9. a) Xét hiệu : (a + 1)\(^2\) – 4a = a\(^2\) + 2a + 1 – 4a = a\(^2\)– 2a + 1 = (a – 1)\(^2\) ≥ 0.
SL
5
19 tháng 5 2018
Thôi làm luôn nãy h chém nhiều mỏi tay quá. Bổ sung điều kiện a;b;c>1
\(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{5b^2}{b-1}+\dfrac{3c^2}{c-1}\ge48\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{4a^2}{a-1}-16\right)+\left(\dfrac{5b^2}{b-1}-20\right)+\left(\dfrac{3c^2}{c-1}-12\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{4a^2-16a+16}{a-1}+\dfrac{5b^2-20b+20}{b-1}+\dfrac{3c^2-12c+12}{c-1}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{4\left(a-2\right)^2}{a-1}+\dfrac{5\left(b-2\right)^2}{b-1}+\dfrac{3\left(c-2\right)^2}{c-1}\ge0\) (đúng)
Dấu "=" khi \(a=b=c=2\)
18 tháng 6 2022
\(B=\dfrac{\left(4a^2-1\right)\left(b-c\right)-\left(4b^2-1\right)\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{4c^2-1}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\dfrac{4a^2b-4a^2c-b+c-4ab^2+4b^2c+a-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{4ac^2-4bc^2-a+b}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{4a^2b-4a^2c+a-b-4ab^2+4b^2c+4ac^2-4bc^2-a+b}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{4a^2b-4ab^2-4a^2c+4ac^2-4bc^2+4b^2c}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{4a^2\left(b-c\right)+4bc\left(b-c\right)-4a\left(b^2-c^2\right)}{\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{4a^2+4bc-4a\left(b+c\right)}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{4a^2-4ab+4bc-4ac}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{4a\left(a-b\right)-4c\left(a-b\right)}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}=4\)
DH
14 tháng 5 2020
Áp dụng BĐT BCS dạng phân thức ta được:
\(\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}=\frac{1}{9}.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2+a^2\right)}\le\frac{1}{9}\left(\frac{a^2}{2a^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}\right)\)
\(\frac{1}{a^2+4b^2+c^2}=\frac{1}{9}.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2b^2+\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2+b^2\right)}\le\frac{1}{9}\left(\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{2b^2}+\frac{c^2}{c^2+b^2}\right)\)
\(\frac{1}{a^2+b^2+4c^2}=\frac{1}{9}.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2c^2+\left(a^2+c^2\right)+\left(c^2+b^2\right)}\le\frac{1}{9}\left(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+b^2}+\frac{c^2}{2c^2}\right)\)
Cộng các BĐT trên theo vế ta được:
\(\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+4b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2+4c^2}\le\frac{1}{2}\)
Dấu $"="$ xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Băng :v