NT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LP
1
25 tháng 6 2017
(ab+bc+ca)-3abc(a+b+c)
=a2b2+b2c2+a2c2+2a2bc+2b2ac+2c2ab-3a2bc-3b2ac-3c2ab
=a2b2+b2c2+a2c2-a2bc-b2ac-c2ab
cần chứng minh :
a2b2+b2c2+a2c2-a2bc-b2ac-c2ab >=0
<=>2.(a2b2+b2c2+a2c2-a2bc-b2ac-c2ab) >=0
<=>(ab-ac)2+(ab-bc)2+(bc-ac)2>=0
bất đẳng thức trên luôn đúng
=> dpcm
20 tháng 3 2018
a) \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)
b)\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
20 tháng 3 2018
Câu a :
Ta có :
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b\)
Câu b :
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ( đúng )
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 8 2019
Lời giải:
a)
Xét hiệu \(\frac{a^3}{b}-(a^2+ab-b^2)=(\frac{a^3}{b}-a^2)-(ab-b^2)\)
\(=\frac{a^3-a^2b}{b}-b(a-b)=\frac{a^2(a-b)}{b}-b(a-b)=(a-b)\left(\frac{a^2}{b}-b\right)\)
\(=(a-b).\frac{a^2-b^2}{b}=\frac{(a-b)^2(a+b)}{b}\geq 0, \forall a,b>0\)
Do đó \(\frac{a^3}{b}\geq a^2+ab-b^2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
b)
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương:
\(\frac{a^3}{b}+ab\geq 2a^2\)
\(\frac{b^3}{c}+bc\geq 2b^2\)
\(\frac{c^3}{a}+ac\geq 2c^2\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)\)
Mà cũng theo BĐT Cauchy:
\(a^2+b^2+c^2=\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}\geq \frac{2ab}{2}+\frac{2bc}{2}+\frac{2ca}{2}=ab+bc+ca\)
\( \Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)\geq 2(ab+bc+ac)-(ab+bc+ac)=ab+bc+ac\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
HL
0
12 tháng 4 2020
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Chuyển vế và CM tương tự
30 tháng 3 2018
1) 2( a2 + b2 ) ≥ ( a + b)2
<=> 2a2 + 2b2 - a2 - 2ab - b2 ≥ 0
<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0
<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( luôn đúng )
=> đpcm
2) Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x , y , ta có :
a + b ≥ \(2\sqrt{ab}\)
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ 2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ) ≥ \(2\sqrt{xy}\)2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)) ≥ 4
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+y}\)
MK
1
10 tháng 3 2015
Ta có (a-b)2 luôn lớn hơn bằng 0 với mọi a, b.
Có (b-c)2 luôn lớn hơn bằng 0 với mọi b,c.
Có (c-a)2 luôn lớn hơn bằng 0 với mọi c, a.
Suy ra: (a-b)2 + (b-c)2 + (c-a)2 luôn lớn hơn bằng 0 với mọi a, b, c.
=> a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 + c2 - 2ac + a2 luôn lớn hơn bằng 0.
=> 2(a2 + b2 + c2) - 2(ab + bc + ca) luôn lớn hơn bằng 0.
=> 2(a2 + b2 + c2) luôn lớn hơn bằng 2(ab + bc + ca).
=> a2 + b2 + c2 luôn lớn hơn bằng ab + bc + ca.
21 tháng 3 2019
Ý 3 bạn bỏ dòng áp dụng....ta có nhé
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}b+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}c+c^2\right)+\)\(\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{d}d+d^2\right)+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)+\left(\frac{a}{2}-c\right)+\)\(\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=d=0
6) Sai đề
Sửa thành:\(x^2-4x+5>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+1>0\)
7) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b\ge2.\sqrt{ab}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{ab}{2.\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\frac{cb}{c+b}\le\frac{cb}{2.\sqrt{cb}}=\frac{\sqrt{cb}}{2}\)
\(\frac{ca}{c+a}\le\frac{ca}{2.\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{ca}}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
Cộng vế với vế của các BĐT trên ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\le\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}}{2}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
21 tháng 3 2019
1)\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-xy+y^2\ge xy\) ( vì x;y\(\ge0\))
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
2) \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
3) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)\(\forall a\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2}\ge a\forall a\)
\(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\Leftrightarrow b^2-2b+1\ge0\)\(\forall b\Leftrightarrow\frac{b^2}{2}+\frac{1}{2}\ge b\forall b\)
\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\forall a;b\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}\ge ab\forall a;b\)
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:
\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1
4) \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\left[a^2-2.a.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[b^2-2.b.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[c^2-2.c.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a;b;c\)( luôn đúng)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/2
NN
18 tháng 10 2020
a) Xét hiệu ta có:
\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)
\(=\frac{1}{2}.\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}.\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]\)
Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\); \(\left(b-c\right)^2\ge0\forall b,c\); \(\left(a-c\right)^2\ge0\forall a,c\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}.\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]\ge0\forall a,b,c\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
18 tháng 10 2020
a,Ta có:\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(b^2+c^2\ge2bc\)
\(a^2+c^2\ge2ca\)
Cộng theo từng vế ba bđt trên,ta được:
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
Dấu "="xảy ra khi a=b=c
b,\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)(chia cả 2 vế cho a+b)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2-ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)đúng với mọi a,b
Dấu"=" xảy ra khi a=b
c,\(a^2+b^2+c^2\ge a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+b^2+c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+b^2+c^2\ge0\)đúng với mọi a,b,c
Dấu"=" xảy ra khi a=b=c=0
Giả sử điều cần c/m là đúng , ta có :
\(\left(ab+bc+ac\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2ab^2c+2a^2bc+2abc^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2abc\left(a+b+c\right)\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\ge2abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2\ge2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-2a^2bc-2ab^2c-2abc^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-2a^2bc+a^2c^2\right)+\left(b^2c^2-2ab^2c+a^2b^2\right)+\left(a^2c^2-2abc^2+b^2c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-ac\right)^2+\left(bc-ab\right)^2+\left(ac-bc\right)^2\ge0\)
( điều này luôn đúng )
\(\Rightarrow\) điều giả sử là đúng
\(\Rightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)