NT
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
11 tháng 2 2017
Ta chứng minh:\(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
Đặt vế 1 là A, vế 2 là B ta có A-B(khai triển tung tóe ra)=\(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2-6abc\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a^2b-2abc+bc^2\right)+\left(b^2c-2abc+ca^2\right)+\left(c^2a-2abc+ab^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-\sqrt{b}\right)^2+\left(b-\sqrt{c}\right)^2+\left(c-\sqrt{a}\right)^2\ge0\).Đúng nên ta có bất đẳng thức trên
Chuyển vế ta có:\(ab+bc+ca\le\frac{9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{4\times2\times\left(a+b+c\right)}\le\frac{9}{4\times3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=\frac{9}{4\times3}=\frac{3}{4}\)
Vậy ab+bc+ca nhỏ hơn hoặc băng 3/4. bấm đúng cho mình nha
3 tháng 2 2017
đề thi chuyên toán ak. hình như là dùng bu nhi a cốp xki. e lớp 8 ko bít
16 tháng 8 2018
Vô lí vì a+b+c=0\(\Rightarrow\frac{5}{a+b+c}\)không có đáp án
14 tháng 2 2018
đã bảo là 3 số thực thì có thể dương, có thể âm, có thể là 0, có thể là phân số...
NT
4 tháng 8 2016
minh biet lam cau b)
A B C D N M
ke phan giac AD , BM vuong goc AD , CN vuong goc AD
sin \(\frac{A}{2}\) =\(\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}=\frac{BM+CN}{AB+AC}\)
ma BM\(\le BD,CN\le CD\Rightarrow BM+CN\le BC\)
=> sin \(\frac{A}{2}\le\frac{BC}{AB+AC}\le\frac{a}{b+c}\)
dau = xay ra <=> AD vuong goc BC => AD la duong phan giac ,la duong cao => tam giac ABC can tai A => AB=AC => b=c
tương tự sin \(\frac{B}{2}\le\frac{b}{a+c};sin\frac{C}{2}\le\frac{c}{a+b}\)
=>\(sin\frac{A}{2}\cdot sin\frac{B}{2}\cdot sin\frac{C}{2}\le\frac{a\cdot b\cdot c}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\)
ap dung cosi cjo 2 so duong b+c\(\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ac};a+b\ge2\sqrt{ab}\)
=> \(\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\ge8abc\)
\(\Rightarrow sin\frac{A}{2}\cdot sin\frac{B}{2}\cdot sin\frac{C}{2}\le\frac{abc}{8abc}=\frac{1}{8}\)
dau = xay ra <=> a=b=c hay tam giac ABC deu
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 6 2020
Đặt vế trái là P và \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=4\)
Ta cần chứng minh: \(P=\frac{1}{xy+2yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+2zx}+\frac{1}{2xy+yz+zx}\le\frac{1}{xyz}\)
\(P=\frac{1}{xy+yz+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx+zx}+\frac{1}{xy+xy+yz+zx}\)
\(P\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{2}{zx}+\frac{2}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{x+y+z}{xyz}\right)=\frac{1}{4}.\frac{4}{xyz}=\frac{1}{xyz}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{4}{3}\) hay \(a=b=c=\frac{16}{9}\)
4 tháng 12 2019
Do \(a+b+c=1\) nên :
\(VT=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a\left(a+b+c\right)+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b\left(a+b+c\right)+ac}}\)
\(=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\)
Áp dụng BĐT AM - GM :
\(\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)\)
\(\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}\right)\)
\(\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}\right)\)
Cộng theo vế :
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Chúc bạn học tốt !!!
Theo mình thì đề thiếu
a+b+c = 1 bạn