Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
|a|+|b|\(\ge\)|a+b| (1)
Bình phương 2 vế của (1) ta có:
(|a|+|b|)2\(\ge\)(|a+b|)2
=>a2+2|ab|+b2\(\ge\)a2+2ab+b2
=>|ab|\(\ge\)ab (luôn đúng)
BĐT cuối đúng ->(1) dc chứng minh
Dấu = khi ab\(\ge\)0
Ta có: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{ab}+\left(\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) luôn đúng
Dấu \("="\) xảy ra khi a = b.
Cauchy-shwarz:
\(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow bx^2\left(a+b\right)+ay^2\left(a+b\right)\ge\left(x+y\right)^2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(abx^2-abx^2\right)+\left(aby^2-aby^2\right)+\left(bx\right)^2-2bxay+\left(ay\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(bx-ay\right)^2\ge0\) luôn đúng
Dấu \("="\) xảy ra khi \(bx=ay\Leftrightarrow\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}\)
a) \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c}\)
b) \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3ab+3bc+3ac\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)
Đến đây làm tương tự câu a
\(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) khi a hoặc b là 2 số âm và dương
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\)
\(\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}\ge a+b\)
\(\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}-a-b\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}\ge0\) luôn luôn đúng với \(a,b\ge0\)
=> đpcm
Bạn ơi máy cái này tìm GTNN thì làm sao mà tìm được ! Đề bạn sai rồi ! Đây mình làm theo tìm GTLN nha !
Bài 1 : Bài giải
\(A=\frac{5}{7}-\left|3x-2\right|\)
A đạt GTLN khi \(\left|3x-2\right|\) đạt GTNN.
Mà \(\left|3x-2\right|\ge0\) Dấu " = " xảy ra khi \(3x-2=0\) \(\Rightarrow\text{ }3x=2\) \(\Rightarrow\text{ }x=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow\text{ }\frac{5}{7}-\left|3x-2\right|\le0\)
Vậy Max \(\frac{5}{7}-\left|3x-2\right|=\frac{5}{7}\) khi \(x=\frac{2}{3}\)
Nhân cả 2 vế với 2
Xét hiệu
2(a2+b2+c2 )-2(ab+ac+bc)
=2a2+2b2+2c2 -2ab -2ac -2bc
=a2-2ab+b2+b2-2bc+b2+c2-2ac+a2
=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 luôn luôn lớn hợn hoặc =0
nên a2+b2+c2 lớn hơn hoặc bằng ab-ac-bc dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Nhân cả 2 vế với 2
Xét hiệu
2(a2+b2+c2 )-2(ab+ac+bc)
=2a2+2b2+2c2 -2ab -2ac -2bc
=a2-2ab+b2+b2-2bc+b2+c2-2ac+a2
=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 luôn luôn lớn hợn hoặc =0
nên a2+b2+c2 lớn hơn hoặc bằng ab-ac-bc dấu "=" xảy ra khi a=b=c