K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
6 tháng 7 2016
Bài 1. Mình nghĩ đề bài của bạn nhầm ở chỗ dấu "\(\ge\)" , bạn sửa lại thành "\(\le\)" nhé ^^
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : \(9=3\left(a+b+c\right)=\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{c}\right)^2\right]\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\le9\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le a+b+c\) (vì a+b+c = 3)
Bài 2.
Để chứng minh bất đẳng thức trên ta biến đổi : \(a+b+c=1\Leftrightarrow a+1=\left(1-b\right)+\left(1-c\right)\)
Tương tự : \(b+1=\left(1-a\right)+\left(1-c\right)\) ; \(c+1=\left(1-a\right)+\left(1-b\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có : \(a+1=\left(1-b\right)+\left(1-c\right)\ge2\sqrt{\left(1-b\right)\left(1-c\right)}\left(1\right)\)
Tương tự : \(b+1\ge2\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-c\right)}\left(2\right)\) ; \(c+1\ge2\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}\left(3\right)\)
Nhân (1), (2) , (3) theo vế : \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge8\sqrt{\left(1-a\right)^2\left(1-b\right)^2\left(1-c\right)^2}=8\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)
\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge8\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\) (đpcm)
16 tháng 3 2018
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=a-\dfrac{1}{2}\\y=b-\dfrac{1}{2}\\z=c-\dfrac{1}{2}\\t=d-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x+y+z+t=0\)
\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{2\left(2x+1\right)}{4x^2+3}+\dfrac{2\left(2y+1\right)}{4y^2+3}+\dfrac{2\left(2z+1\right)}{4z^2+3}+\dfrac{2\left(2t+1\right)}{4t^2+3}\le\dfrac{8}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(2x-1\right)^2}{4x^2+3}+\dfrac{\left(2y-1\right)^2}{4y^2+3}+\dfrac{\left(2z-1\right)^2}{4z^2+3}+\dfrac{\left(2t-1\right)^2}{4t^2+3}\ge\dfrac{4}{3}\left(1\right)\)
Ta có: \(4x^2+3=3x^2+3+\left(y+z+t\right)^2\le3x^2+3+3\left(y^2+z^2+t^2\right)\)
\(=3\left(x^2+y^2+z^2+t^2+1\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(2x-1\right)^2}{4x^2+3}\ge\dfrac{\left(2x-1\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2+t^2+1\right)}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT_{\left(1\right)}\ge\dfrac{\left(2x-1\right)^2+\left(2y-1\right)^2+\left(2z-1\right)^2+\left(2t-1\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2+t^2+1\right)}\)
\(=\dfrac{4\left(x^2+y^2+z^2+t^2+1\right)-4\left(x+y+z+t\right)}{3\left(x^2+y^2+z^2+t^2+1\right)}\)
\(=\dfrac{4\left(x^2+y^2+z^2+t^2+1\right)}{3\left(x^2+y^2+z^2+t^2+1\right)}=\dfrac{4}{3}=VP_{\left(1\right)}\)
25 tháng 7 2018
ta có : \(\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)=\left(1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{ab}{bc}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)
\(=1+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{bc}{ac}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{ac}{ba}+\dfrac{ab}{bc}+1\)
\(=2+\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{ab}{bc}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{ac}{ba}\right)+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{bc}{ac}\right)\ge2+2+2+2=8\) \(\Rightarrowđpcm\)
NT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 2 2021
Lời giải:Bổ sung ĐK: $a,b,c\geq 1$
Trước tiên ta sẽ bổ đề sau: Với $X,Y\geq 1$ thì:
$\sqrt{X-1}+\sqrt{Y-1}\leq \sqrt{XY}$
BĐT này có thể chứng minh dễ dàng bằng cách bình phương và biến đổi tương đương.
------------
Áp dụng BĐT trên vô bài toán ta có:
$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{ab}+\sqrt{c-1}$
$=\sqrt{(ab+1)-1}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{c(ab+1)}$
Ta có đpcm.
NM
1
CM: \(\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\ge8\)
Áp dụng bđt AM-GM, ta có:
\(1+\dfrac{a}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) (1)
\(1+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{c}}\) (2)
\(1+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{a}}\) (3)
Nhân (1),(2),(3) với nhau ta được đpcm.
bạn gõ thiếu đề hay sao ý^^