ZG
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
26 tháng 8 2015
Bài 1. Ta chứng minh \(A=10^{150}+5\cdot10^5+1\) không là số lập phương.
Bổ đề. Một số lập phương không âm bất kì chia cho 9 chỉ có thể dư là 0,1 hoặc 8.
Chứng minh. Xét \(x\) là số tự nhiên bất kì. Nếu \(x\) chia hết cho 3 thì \(x^3\) hiển nhiên chia hết cho 9 nên số dư chia cho 9 bằng 0.
Nếu \(x\) chia hết 3 dư là 1 thì \(x=3k+1\to x^3=\left(3k+1\right)^3=27k^3+27k^2+9k+1\) chia 9 có số dư là 1.
Nếu \(x\) chia hết 3 dư là 1 thì \(x=3k+2\to x^3=\left(3k+2\right)^3=27k^3+54k^2+18k+8\) chia 9 có số dư là 8.
Quay trở lại bài toán, ta thấy \(10\) chia 9 dư 1 nên \(A\) chia 9 dư là \(1+5+1=7\to\)\(A\) không thể là lập phương của số tự nhiên.
Bài 2. Ta chứng minh bài toán bằng quy nạp. Với n=****. Giả sử đúng đến n, thức là ta đã có \(1^3+2^3+\cdots+n^3=\left(1+2+\cdots+n\right)^2.\)
Khi đó \(1^3+2^3+\cdots+n^3+\left(n+1\right)^3=\left(1+2+\cdots+n\right)^2+\left(n+1\right)^3\)
\(=\frac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}+\left(n+1\right)^3=\left(n+1\right)^2\cdot\frac{n^2+4n+4}{4}=\frac{\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)^2}{4}.\)
Do đó ta có \(1^3+2^3+\cdots+\left(n+1\right)^3=\frac{\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)^2}{4}=\left(1+2+\cdots+n+\left(n+1\right)\right)^2\)
17 tháng 8 2017
Chứng minh
\(\sqrt[3]{\left(n+1\right)^2}-\sqrt[3]{n^2}< \frac{2}{3\sqrt[3]{n}}\)
\(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{n\left(n+1\right)^2}< 2+3n\)
Lập phương 2 vế rồi rút gọn được
\(\Leftrightarrow9n+8>0\)
Đúng với mọi n dương. Ta có ĐPCM.
Cái còn lại tương tự
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 6 2021
\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\dfrac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{\left(n+1\right)^2n-n^2\left(n+1\right)}\)
\(=\dfrac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Do đó:
\(VT=\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)
\(VT=1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}< 1\) (đpcm)
PX
0
HT
1
BT
0
Với n=1n=1 thì đẳng thức hiển nhiên đúng.
Giả sử (1) đúng với n=kn=k tức là:
13+23+33+...+k3=(1+2+3+...+k)213+23+33+...+k3=(1+2+3+...+k)2
Ta sẽ cm (1) đúng với n=k+1n=k+1 tức là cm:
13+23+33+...+k3+(k+1)3=(1+2+3+...+k+k+1)213+23+33+...+k3+(k+1)3=(1+2+3+...+k+k+1)2
Thật vậy, ta có:
13+23+33+...+k3+(k+1)3=(1+2+3+...+k+k+1)213+23+33+...+k3+(k+1)3=(1+2+3+...+k+k+1)2
⇔(13+23+33+...+k3)+(k+1)3=(1+2+3+...+k)2+(k+1)2+2(1+2+3+...+k)(k+1)⇔(13+23+33+...+k3)+(k+1)3=(1+2+3+...+k)2+(k+1)2+2(1+2+3+...+k)(k+1)
⇔(k+1)3=(k+1)2+2(1+2+3+...+k)(k+1)⇔(k+1)3=(k+1)2+2(1+2+3+...+k)(k+1)
Mà: (k+1)2+2(1+2+3+...+k)(k+1)=(k+1)2+2.k(k+1)(k+1)2=(k+1)3(k+1)2+2(1+2+3+...+k)(k+1)=(k+1)2+2.k(k+1)(k+1)2=(k+1)3
Do đó (1) đúng với n=k+1n=k+1
Theo nguyên lý quy nạp, ta có đpcm.
13 là 1 mũ 3 mình ko bt viết mũ nhá