TP
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TP
1
29 tháng 5 2016
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có : \(\sqrt{y-1}=\sqrt{\left(y-1\right).1}\le\sqrt{\frac{y^2}{4}}=\frac{y}{2}\)\(\Rightarrow x\sqrt{y-1}\le\frac{xy}{2}\)(1)
Tương tự ta có : \(y\sqrt{x-1}\le\frac{xy}{2}\)(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được : \(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\le xy\)(đpcm)
VT
16 tháng 5 2017
không mất tính tổng quát giả sử x \(\le\)y
BĐT tương đương \(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\ge\frac{1}{1+xy}-\frac{1}{1+y^2}\)
quy đồng và rút gọn ta được \(\frac{x}{\left(1+x^2\right)}\ge\frac{y}{1+y^2}\)
suy ra \(x\left(1+y^2\right)\ge y\left(1+x^2\right)\)
Phá ngoặc, chuyển vế, phân tích nhân tử ta được (y - x)(xy - 1) \(\ge\)0 (1)
vì x, y\(\ge\)1 và y \(\ge\)x nên (1) luôn đúng. (đpcm)
6 tháng 7 2017
Ta có : x2 - xy + y2 + 1
\(=x^2-2x.\frac{y}{2}+\frac{y^2}{4}+\frac{3y^2}{4}+1\)
\(=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\left(\frac{3y}{2}\right)^2+1\)
Mà \(\left(x-\frac{y}{2}\right)^2\ge0\forall x\)
\(\left(\frac{3y}{2}\right)^2\ge0\forall x\)
Nên \(\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\left(\frac{3y}{2}\right)^2+1\ge1\forall x\)
Vậy \(\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\left(\frac{3y}{2}\right)^2+1>0\forall x\)
Hay : x2 - xy + y2 + 1 > 0 \(\forall x\)
KP
0
TK
2
22 tháng 10 2017
Nhân 2 vế với 2 ta có:
\(2x^2+2y^2+2\ge2xy+2x+2y\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+x^2-2x+1+y^2-2y+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge\)
dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=1\)
22 tháng 10 2017
ta có
(x-y)2=x2_2xy+y2 >=0 với mọi x,y
(x-1)2=X2_2x+1 >=0 với mọi x
(y-1)2=y2-2y+1 >=0 với mọi y
do đó cộng 3 bất đẳng thức theo vế ta có:
2x2+2y2+2-2xy-2x-2y>=0 với mọi x,y
=> x2+y2+1-xy-x-y>=0
=>x2+y2+1>=xy+x+y
ta được điều phải chứng minh
T
24 tháng 11 2019
1) Biến đồi tương đương:
\(\left(x^2+y^2\right)^2\ge8\left(x-y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2\ge8xy\left(x-y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+y^2\right)^2\ge0\)(đúng)
2) Sửa đề: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\left(\text{với }xy\ge1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(xy+1\right)}\ge0\) (đúng)
20 tháng 2 2018
Chuyển vế biến đổi tương đương
\(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{xy+1}\ge0\)
Cách 1:Ta có: \(2\left(1+a^2\right)\ge\left(1+a\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)^2}\ge\frac{1}{\left[2\left(1+a^2\right)\right]}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{1}{\left[2\left(1+x^2\right)\right]}+\frac{1}{\left[2\left(1+y^2\right)\right]}\)
mà: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}=\frac{2+x^2+y^2}{1+x^2y^2+x^2+y^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}=\frac{\left[2.\left(1+xy\right)+\left(x-y\right)^2\right]}{\left(1+xy\right)^2+\left(x-y\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge2.\frac{1+xy}{\left(1+xy\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left[2\left(1+x^2\right)\right]}+\frac{1}{\left[2\left(1+y^2\right)\right]}\ge\frac{1}{1+xy}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{1}{1+xy}\)
Nhưng hình như đề fai là 2/1+xy thì fai