Question

[TF Boys]

\(Cho:M=\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...+\frac{1}{1+2+3+...+59}\)

Chứng mính: \(M<\frac{2}{3}\)

Answer 1

[Hoàng Nguyên Trương]

Ta có: 

\(1+2+3=\frac{\left(1+3\right).3}{2}=\frac{4.3}{2}\)

\(1+2+3+4=\frac{\left(1+4\right).4}{2}=\frac{5.4}{2}\)

\(.................\)

\(1+2+3+...+59=\frac{\left(1+59\right).59}{2}=\frac{60.59}{2}\)

Nên : \(M=\frac{1}{\frac{4.3}{2}}+\frac{1}{\frac{5.4}{2}}+...+\frac{1}{\frac{60.59}{2}}\) , suy ra :\(2M=\frac{1}{4.3}+\frac{1}{5.4}+...+\frac{1}{60.59}\)

                                                                               \(2M=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{59}-\frac{1}{60}\)

                                                                               \(2M=\frac{1}{3}-\frac{1}{60}<\frac{1}{3}\)

Do đó :                                                                        \(M<\frac{1}{3}.2\)

                                                                                   \(M<\frac{2}{3}\)

Answer 2

[Hoàng Nguyên Trương]

Mình sửa lại \(2M\) thành 1/2 M nhé