NA
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NA
1
NA
0
16 tháng 8 2019
a) Gọi tâm của đường tròn nội tiếp \(\Delta\)ABC là I. (I) tiếp xúc với BC,CA,AB tại D,E,F
Ta có \(S_{BIC}=\frac{1}{2}ID.BC=r.\frac{BC}{2}\). Tương tự \(S_{CIA}=r.\frac{CA}{2};S_{AIB}=r.\frac{AB}{2}\)
Vậy \(S_{ABC}=r.\frac{BC+CA+AB}{2}=pr\)(đpcm).
b) Đặt \(BC=a,CA=b,AB=c,AM=m_A,BM=m_B,CM=m_C\)
Áp dụng công thức tính đường trung tuyến có \(m_A=\frac{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{m_A}=\frac{2}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}}\), Hoàn toàn tương tự đối với \(m_B,m_C\)
Từ đó \(\frac{1}{m_A}+\frac{1}{m_B}+\frac{1}{m_C}=\frac{2}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}}+\frac{2}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)-b^2}}+\frac{2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)-c^2}}\)
Lại có \(r=\frac{S}{p}=\frac{\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}{p}=\sqrt{\frac{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p}}\)(Công thức Heron)
\(=\frac{\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}{2\sqrt{a+b+c}}\)
Kết hợp với giả thiết \(\frac{1}{m_A}+\frac{1}{m_B}+\frac{1}{m_C}=\frac{1}{r}\) suy ra:
\(\frac{1}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}}+\frac{1}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)-b^2}}+\frac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)-c^2}}\)
\(=\frac{\sqrt{a+b+c}}{\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}\)(1)
Áp dụng BĐT Cauchy: \(VT_{\left(1\right)}\le\frac{1}{\sqrt{\left(b+c\right)^2-a^2}}+\frac{1}{\sqrt{\left(c+a\right)^2-b^2}}+\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)^2-c^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{a+b+c}}.\frac{\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}+\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}+\sqrt{\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}{\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}\)\(\le\frac{1}{\sqrt{a+b+c}}.\frac{a+b+c}{\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}\)
\(=\frac{\sqrt{a+b+c}}{\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}=VP_{\left(1\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)<=> \(\Delta\)ABC đều (đpcm).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 1 2022
Gọi O là trung điểm AH, tam giác AHN vuông tại N nên N thuộc đường tròn đường kính AH
Do ABC cân tại A \(\Rightarrow\) AM là đường cao đồng thời là trung tuyến
\(\Rightarrow\) M là trung điểm BC
Trong tam giác vuông NBC, NM là trung tuyến ứng với cạnh huyền
\(\Rightarrow MN=MB=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow\Delta MNB\) cân tại M
\(\Rightarrow\widehat{MNB}=\widehat{MBN}\) (1)
Tương tự, trong tam giác vuông ANH, ta có: \(ON=OH=\dfrac{1}{2}AH\Rightarrow\widehat{ONH}=\widehat{OHN}\)
Mà \(\widehat{OHN}=\widehat{MHB}\) (đối đỉnh) \(\Rightarrow\widehat{ONH}=\widehat{MHB}\) (2)
Lại có tam giác HBM vuông tại M \(\Rightarrow\widehat{MHB}+\widehat{MBN}=90^0\) (3)
(1);(2);(3) \(\Rightarrow\widehat{ONH}+\widehat{MNB}=90^0\) hay \(MN\perp ON\)
\(\Rightarrow MN\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH
QH
19 tháng 12 2015
Dễ cm được công thức S tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn kề
Giả sử CO cắt nửa (O) tại K thì ^AKB = 90 độ
Theo t/c góc ngoài của t/g thì ^ACO < ^AKO, ^BCO < ^BKO => ^C < 90 độ
=> \(\vec{\frac{S_{CMN}}{S_{CBA}}=\frac{\frac{1}{2}CM.CN.sinC}{\frac{1}{2}CA.CB.sincC}=}\frac{CM}{CB}.\frac{CN}{CA}=cos^2C\)
Xét hai t/g CMB và CNA: ^C chung, ^CNA = ^CMB = 90 độ
=> ∆ CMB ~ ∆ CNA => CM/CN = CB/CA
Lại có ^C chung => ∆ CMN ~ ∆ CAB => ^C = ^CAB
=> đpcm
19 tháng 12 2015
Tam giác \(\Delta CMN\sim\Delta CBA\left(g.g\right)\to\frac{S_{CMN}}{S_{ABC}}=k^2\) với k là tỉ số đồng dạng.
Ta có \(k=\frac{CM}{CB}=\cos C\to DPCM.\)
PS: Để chứng minh hai tam giác trên đồng dạng có hai cách: nếu đã học góc ngoài của tứ giác nội tiếp thì sử dụng luôn tính chất cho tứ giác nội tiếp ABMN. Nếu chưa học đến thì sử dụng nhận xét: BM,AN là các đường cao rồi để suy ra \(\Delta CMB\sim\Delta CNA\) (hai tam giác vuông chung góc C). Từ đó dẫn ra hai tam giác trên đồng dạng theo c.g.c.