NV
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2022
Xét \(f\left[f\left(x\right)+x\right]=\left[f\left(x\right)+x\right]^2+m\left[f\left(x\right)+x\right]+n\)
\(=\left(x^2+mx+n+x\right)^2+m\left(x^2+mx+n+x\right)+n\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)^2+2x\left(x^2+mx+n\right)+x^2+m\left(x^2+mx+n\right)+mx+n\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)^2+2x\left(x^2+mx+n\right)+m\left(x^2+mx+n\right)+\left(x^2+mx+n\right)\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)\left(x^2+mx+n+2x+m+1\right)\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)\left[\left(x+1\right)^2+m\left(x+1\right)+n\right]\)
\(=f\left(x\right).f\left(x+1\right)\)
Thay \(x=2021\)
\(\Rightarrow f\left[f\left(2021\right)+2021\right]=f\left(2021\right).f\left(2022\right)\)
Đặt \(f\left(2021\right)+2021=k\)
Do \(f\left(x\right)\) có hệ số m;n nguyên \(\Rightarrow k\) nguyên
\(\Rightarrow f\left(k\right)=f\left(2021\right).f\left(2022\right)\) với k nguyên
Hay tồn tại số nguyên k thỏa mãn yêu cầu
30 tháng 8 2016
Vì \(n\in Z^+\)nên\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)>n^3\Rightarrow\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>n\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}>n\)(1)
Lại có:\(n^2+2n+1>n^2+2n\Rightarrow\left(n+1\right)^2>n\left(n+2\right)\Rightarrow\left(n+1\right)^3>n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(\Rightarrow n+1>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\\ \Rightarrow\sqrt[3]{n^3+3n^2+3n+1}>\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n+n+1}>\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(n+1\right)^3}>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)
Tương tự \(\Rightarrow n+1>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}< n+1\)
30 tháng 8 2016
\(n\in Z^+\)nên n2 < n2 + 2n < n2 + 2n + 1 <=> n2 < n(n + 2) < (n + 1)2 => n3 < n(n + 1)(n + 2) < (n + 1)3
=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}< n+1\)
=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n}\)\(< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n+1}\)\(=\sqrt[3]{\left(n+1\right)\left(n^2+2n+1\right)}=\sqrt[3]{\left(n+1\right)\left(n+1\right)^2}=n+1\)
=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n}\)
\(< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}}< n+1\)
Tiếp tục như vậy,ta có đpcm.
KN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 11 2020
Lời giải:
Đặt $x=[x]+m$ với $0\leq m< 1$
$[x+n]=[[x]+n+m]$. Vì $[x]+n$ nguyên, $0\leq m< 1$ nên:
$[[x]+n+m]=[x]+n$ theo tính chất phần nguyên (đpcm)
PV
1
18 tháng 2 2020
\(A=n\left(n+2\right)\left(73n^2-1\right)=n\left(n+2\right)\left(n^2-1\right)+72n^3\left(n+2\right)=\)
\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+72n^3\left(n+2\right)\)
Ta thấy n-1 , n , n+1, n+2 là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên có 2 số chẵn liên tiếp sẽ có tích chia hết cho 8
=> (n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 8
Dễ dàng lập luận đc (n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 3
mà (8,3)=1
=> (n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 24
mà 72n^3(n+2) chia hết cho 24
=> A chia hết cho 24
24 tháng 6 2018
Câu 1:
\(\sqrt{x-a}+\sqrt{y-b}+\sqrt{z-c}=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\\ \Leftrightarrow2\sqrt{x-a}+2\sqrt{y-b}+2\sqrt{z-c}=x+y+z\\ \Leftrightarrow x+y+z-2\sqrt{x-a}-2\sqrt{y-b}-2\sqrt{z-c}=0\\ \Leftrightarrow x+y+z-2\sqrt{x-a}-2\sqrt{y-b}-2\sqrt{z-c}+3-a-b-c=0\\ \Leftrightarrow\left[\left(x-a\right)-2\sqrt{x-a}+1\right]+\left[\left(y-b\right)-2\sqrt{y-b}+1\right]+\left[\left(z-c\right)-2\sqrt{z-c}+1\right]=0\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{x-a}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-b}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-c}-1\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-a}-1=0\\\sqrt{y-b}-1=0\\\sqrt{z-c}-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-a}=1\\\sqrt{y-b}=1\\\sqrt{z-c}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-a=1\\y-b=1\\z-c=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=a+1\\y=b+1\\z=c+1\end{matrix}\right.\)Vậy \(\left\{x;y;z\right\}=\left\{a+1;b+1;c+1\right\}\)
24 tháng 6 2018
Câu 2:
\(\text{ a) Ta có }:\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \dfrac{2}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=\dfrac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{\left(\sqrt{n-1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}\\ =\dfrac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{n-n+1}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\left(1\right)\)
\(\text{Lại có: }\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\dfrac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}\\ =\dfrac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{n+1-n}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Rightarrow2\left(\sqrt{n+1}-n\right)< \dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
b) Áp dụng bất đảng thức ở câu a:
\(\Rightarrow S=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\\ >2\left(\sqrt{101}-\sqrt{100}\right)+...+\left(\sqrt{4}-\sqrt{3}\right)+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)\\ =2\left(\sqrt{101}-\sqrt{100}+...+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)\\ =2\left(\sqrt{101}-\sqrt{1}\right)>2\left(\sqrt{100}-1\right)=2\left(10-1\right)=18\left(3\right)\)
\(\Rightarrow S=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}< 2\left(\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)+...+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+\left(\sqrt{1}-\sqrt{0}\right)\\ =2\left(\sqrt{100}-\sqrt{99}+...+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{1}\right)\\ =2\cdot\sqrt{100}=2\cdot10=20\left(4\right)\)
Từ \(\left(3\right)\) và \(\left(4\right)\Rightarrow18< S< 20\)
BT
0