Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cosi ta có: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}\cdot\frac{yz}{x}}=2y\left(1\right)\)
Tương tự ta cũng có: \(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2z\left(2\right);\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\ge2x\)
Cộng (1),(2),(3) vế theo vế ta được;
\(2\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\right)\ge2\left(x+y+z\right)=2.2019=4038\)
\(\Rightarrow2P\ge4038\)
\(\Rightarrow P\ge2019\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 673
Vậy Pmin = 2019 khi x = y = z = 673
Áp dụng BĐT
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)\ge9\)
Trong đó: a=xy; b=yz; c=zx
\(\Rightarrow\left(xy+yz+zx\right)\left(\frac{1}{zy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\ge9\)(*)
Áp dụng BĐT Cô-si
\(x^2+y^2\ge2xy\left(x>0;y>0\right)\left(1\right)\)
\(y^2+z^2\ge2yz\left(y>0;z>0\right)\left(2\right)\)
\(z^2+x^2\ge2xz\left(x>0;z>0\right)\left(3\right)\)
Cộng từng vế của (1);(2);(3) ta được: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)(**)
Từ (*);(**)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\cdot A\ge\left(xy+yz+zx\right)\cdot A\ge9\)
\(\Rightarrow3A\ge9\)
\(\Rightarrow A\ge3\)
\(\Rightarrow MinA=3\Leftrightarrow x=y=z\)
Ta có
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)
\(=\left(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{\frac{4}{9}}{2xy}+\frac{\frac{4}{9}}{2yz}+\frac{\frac{4}{9}}{2zx}\right)+\frac{7}{9}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
\(\ge\frac{\left(1+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}+\frac{7}{9}.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{xy+yz+xz}\)
\(\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{7}{9}.\frac{9}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)
\(=9+\frac{7}{9}.27=30\)
Vậy GTNN là 30 đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Cách khác:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=\frac{x^4}{x+xy}+\frac{y^4}{y+yz}+\frac{z^4}{z+zx}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x+y+z+xy+yz+xz}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz(1)\)
\(\Rightarrow 2(x^2+y^2+z^2)\geq 2(xy+yz+xz)\)
\(\Rightarrow 3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2\)
\(\Rightarrow (x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)\leq (xy+yz+xz)(x^2+y^2+z^2)\leq (x^2+y^2+z^2)^2\)
\(\Rightarrow x+y+z\le x^2+y^2+z^2(2)\)
Từ $(1);(2)$ suy ra:
\(P\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(x^2+y^2+z^2)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\geq \frac{xy+yz+xz}{2}\geq \frac{3}{2}\)
Vậy $P_{\min}=\frac{3}{2}$
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{x^3}{y+1}+\frac{y+1}{4}+\frac{1}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3}{y+1}.\frac{y+1}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3x}{2}\)
\(\frac{y^3}{z+1}+\frac{z+1}{4}+\frac{1}{2}\geq \frac{3y}{2}\)
\(\frac{z^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}\geq \frac{3z}{2}\)
Cộng theo vế và thu gọn:
\(\Rightarrow P\geq \frac{5}{4}(x+y+z)-\frac{9}{4}\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
\((x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)\geq 9\)
\(\Rightarrow x+y+z\geq 3\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{5}{4}(x+y+z)-\frac{9}{4}\geq \frac{5}{4}.3-\frac{9}{4}=\frac{3}{2}\)
Vậy $P_{\min}=\frac{3}{2}$ khi $x=y=z=1$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3y^3}}}{xy}=\frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}};\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xz}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(M\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)=\sqrt{3}\cdot\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xyz}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{xyz}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}\right)\)
\(=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}\ge\sqrt{3}\cdot\frac{3\sqrt[3]{\sqrt{xyz}}}{1}=3\sqrt{3}\)
Khi \(x=y=z=1\)
Áp dụng BĐT cô si ta có:
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xzy^2}{xz}}=2y\)
Tương tự ta có:\(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2z,\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\ge2x\)
Cộng lại ta có:\(2\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\right)\ge2\left(x+y+z\right)̸\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge x+y+z=1\)
Vậy \(GTNN=1\)Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)