Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bài 1 ta có x+y+z=0 suy ra y+z=-x
(-x)2=x2=(y+z)2=y2+2yz+z2
suy ra
\(\frac{1}{y^2+z^2-x^2}=\frac{1}{-2yz}\)
tương tự ta có \(\frac{1}{-2yz}+\frac{1}{-2xy}+\frac{1}{-2xz}=\frac{-1}{2}\left(\frac{x+z+y}{xyz}\right)=\frac{-1}{2}\left(\frac{0}{xyz}\right)\)
bài 2 bạn ghi đề không rõ ràng nên mình không giải
Tại sao lại \(\frac{1}{y^2+z^2-x^2}\)=\(\frac{1}{-2yz}\)
Ta có : \(x+y+z=0\Rightarrow x+y=-z\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=z^2\Rightarrow x^2+y^2+2xy=z^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=z^2-2xy\)
Tương tự ta có : \(y^2+z^2=x^2-2yz\)
\(x^2+z^2=y^2-2xz\)
Thay vào biểu thức ta có :
\(A=\frac{x^2}{y^2+z^2-x^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2-y^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2-z^2}\)
\(=\frac{x^2}{x^2-2yz-x^2}+\frac{y^2}{y^2-2xz-y}+\frac{z^2}{z^2-2xy-z^2}\)
\(=-\frac{x^2}{2yz}-\frac{y^2}{2xz}-\frac{z^2}{2xy}\)
\(=\frac{-x^3-y^3-z^3}{2xyz}=-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\)
\(=\frac{3xyz}{2xyz}=-\frac{3}{2}\)
Chỗ \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)là do \(x+y+z=0\)nhé, bạn cần chứng minh không ?
Cậu vào phần thống kê câu trả lời của mk ấy, ngay câu đầu tiên
tham khảo nha: Câu hỏi của Nguyễn Thị Phương Thảo - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Ta có: x + y + z = 0
=> x = -y - z
=> x2 = (-y - z)2
=> x2 = y2 + 2yz + z2
=> x2 - y2 - z2 = 2yz
CMTT: y2 = x2 + 2xz + z2 => y2 - z2 - x2 = 2xz
z2 = x2 + 2xy + y2 => z2 - x2 - y2 = 2xy
Khi đó, ta có:M = \(\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}\)
M = \(\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\)
M = \(\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+z^3}{2xyz}\)
M = \(\frac{\left(x+y\right)\left(x^2+2xy+y^2\right)-3xy\left(x+y\right)+z^3}{2xyz}\)
M = \(\frac{\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)}{2xyz}\)
M = \(\frac{\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right).z+x^2\right]-3xy\left(x+y\right)}{2xyz}\)(do x + y + z = 0)
M = \(\frac{-3xy.z}{2xyz}=-\frac{3}{2}\) (do x + y = -z)
Sửa lại kq M = 3/2 (thay dòng cuối) (-3xy.z --> -3xy(-z)) n/b
Bạn có thể sử dụng BĐT thức Cô-si và xét trường hợp dấu bằng xảy ra nhé bạn !
Câu hỏi của Trần Ngọc Tú - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
- Với xyz \(\ne\) 0 ta có:
x + y + z = 0 \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}y+z=-x\\x+y=-z\\x+z=-y\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}(y+z)^2=(-x)^2\\(x+y)^2=(-z)^2\\(x+z)^2=(-y)^2\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}y^2+2yz+z^2=x^2\\x^2+2xy+y^2=z^2\\x^2+2xz+z^2=y^2\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}y^2+z^2-x^2=-2yz\\x^2+y^2-z^2=-2xy\\x^2+z^2-y^2=-2xz\end{cases}}\)
Thay vào P ta được:
P=\(\frac{1}{-2yz}\)\(+\)\(\frac{1}{-2xy}\)\(+\)\(\frac{1}{-2xz}\)\(=\)\(\frac{-x}{2xyz}\)\(+\)\(\frac{-z}{2xyz}\)\(+\)\(\frac{-y}{2xyz}\)\(=\)\(\frac{-(x+y+z)}{2xyz}\)\(=\)0 \((x+y+z=0)\)
Vậy với \(x+y+z=0\)và \(xyz\ne0\)thì \(P=0\)
\(x+y+z=0\) => \(x+y=-z\) => \(\left(x+y\right)^2=z^2\)
=> \(x^2+2xy+y^2=z^2\)
=> \(z^2-x^2-y^2=2xy\)
Tương tự:
\(x^2-y^2-z^2=2yz\)
\(y^2-z^2-x^2=2zx\)
Thay vào tính M ta có:
\(M=\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2zx}+\frac{z^2}{2xy}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}\right)\) (*)
Ta lại có: x + y + z = 0
=> x + y = -z => \(\left(x+y\right)^3=-z^3\)
=> \(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=-z^3\)
=> \(x^3+y^3+z^3=-3x^2y-3xy^2\)
=> \(x^3+y^3+z^3=-3xy\left(x+y\right)\)
=> \(x^3+y^3+z^3=-3xy\left(-z\right)\) (vì x + y = -z)
=> \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Thay vào (*) ta có:
\(M=\frac{1}{2}\frac{3xyz}{xyz}=\frac{3}{2}\)