Question

[Cao Thanh Nga]

Cho x,y,z là 3 số dương có tổng bằng 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của M = (x+y)/xyz

Answer 1

[Đinh quang hiệp]

\(x,y,z>0\Rightarrow\left(x+y\right)+z>=2\sqrt{\left(x+y\right)z}\Rightarrow1>=2\sqrt{\left(x+y\right)z}\Rightarrow1>=4\left(x+y\right)z\)(bđt cosi)

\(M=\frac{x+y}{xyz}=\frac{1\left(x+y\right)}{xyz}>=\frac{4\left(x+y\right)z\left(x+y\right)}{xyz}=\frac{4\left(x+y\right)^2z}{xyz}>=4\cdot\frac{\left(2\sqrt{xy}\right)^2z}{xyz}=\frac{4\cdot4xyz}{xyz}=4\cdot4=16\)

dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y=\frac{1}{4}\\z=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

vậy min M là 16 khi \(x=y=\frac{1}{4}:z=\frac{1}{2}\)