LN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
D
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 4 2019
\(\frac{x^3}{y}+xy\ge2x^2\); \(\frac{y^3}{z}+yz\ge2y^2\); \(\frac{z^3}{x}+xz\ge2z^2\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}+xy+xz+yz\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Mặt khác ta có BĐT: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}+xy+xz+yz\ge2\left(xy+xz+yz\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}\ge xy+xz+yz\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 2 2020
\(\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{3}=\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{3xyz}\ge\frac{2}{\sqrt{3xyz\left(x+y+z\right)}}\ge\frac{2}{xy+yz+zx}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
CF
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 4 2021
Cần thêm điều kiện x;y;z đôi một phân biệt và để dấu "=" xảy ra khi thì x;y;z không âm chứ không phải dương
Không mất tính tổng quát, giả sử \(z=min\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow xy+yz+zx\ge xy\)
\(\Rightarrow\dfrac{4}{xy+yz+zx}\le\dfrac{4}{xy}\)
Đồng thời:
\(\left(z-x\right)^2=x^2+z\left(z-2x\right)\le x^2\Rightarrow\dfrac{1}{\left(z-x\right)^2}\ge\dfrac{1}{x^2}\)
\(\left(y-z\right)^2=y^2+z\left(z-2y\right)\le y^2\ge\dfrac{1}{\left(y-z\right)^2}\ge\dfrac{1}{y^2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge2\) (hiển nhiên đúng theo AM-GM)
D
cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=3
Cmr \(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2009}{xy+yz+xz}\ge670\)
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 4 2019
\(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+xz+yz\right)}+\frac{2007}{xy+xz+yz}\)
\(P\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+xz+yz\right)}+\frac{2007}{xy+xz+yz}\)
\(P\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{2007}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=670\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 5 2018
Lời giải:
Ta cần chứng minh \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\geq x^2+y^2+z^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz}\geq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq xyz\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}\)
\(\Leftrightarrow (x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)^2\geq 3x^2y^2z^2(x^2+y^2+z^2)\)
\(\Leftrightarrow x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4+2x^2y^2z^2(x^2+y^2+z^2)\geq 3x^2y^2z^2(x^2+y^2+z^2)\)
\(\Leftrightarrow x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4\geq x^2y^2z^2(x^2+y^2+z^2)\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ (x^2y^2-y^2z^2)^2+(y^2z^2-x^2z^2)^2+(x^2y^2-x^2z^2)^2\right]\geq 0\)
(luôn đúng)
Do đó ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)
HT
1
31 tháng 7 2019
\(x^2+y^2+z^2\ge xy-xz+yz\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy-2xz+2yz\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy+2xz-2yz\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2+2xz+z^2\right)+\left(z^2-2yz+y^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x+z\right)^2+\left(z-y\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy-xz+yz\)( đúng với mọi x,y,z )
Dấu bằng sảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(x+z\right)^2=0\\\left(z-y\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\x+z=0\\z-y=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=x\\x+z=0\\y=z\end{cases}}}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+z=0\\x=z\end{cases}\Rightarrow x=y=z=0}\)
N
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 5 2021
\(VT=\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{4}{x+y}\right)=\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{16}{\left(z+x+y\right)^2}\ge16\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)\)