Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn nên viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để được hỗ trợ tốt hơn. Viết đề như trên khó theo dõi quá.
a, Ta có : \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(=\left(x+y\right)\left(\left(x+y\right)^2-2xy-xy\right)\)
\(=1\left(1^2-3\left(-1\right)\right)=1\left(1^2+3\right)=4\)
b, Ta có : \(x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(\left(x-y\right)^2+3xy\right)\)
\(=1\left(1+3.9\right)=19\)
Ta có:
\(x+\dfrac{4}{x+1}+y+\dfrac{9}{y+1}=\left(x+1+\dfrac{4}{x+1}\right)+\left(y+1+\dfrac{9}{y+1}\right)-2\)
\(\ge2.2+2.3-2=8\)
Vì x,y > 0 nên dấu = không xảy ra.
Vậy ta có ĐPCM
a. Do \(x=y-1\Rightarrow x-y=1\)
Ta có:
\(A=x^3-y^3-3xy=\left(x-y\right)^3+3xy\left(x-y\right)-3xy=1^3+3xy.1-3xy=1\left(đpcm\right)\)
b. \(B=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\left(x^4+y^4\right)\left(x^8+y^8\right)\)
(Do \(x-y=1\))
(Bạn áp dụng hằng đẳng thức \(x^2-y^2=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\)vào bài toán)
Kết quả, \(B=x^{16}-y^{16}\left(đpcm\right)\)
a)\(x=y+1\Rightarrow x-y=1\Rightarrow\left(x-y\right)^3=1\)
Hay x3- 3xy(x-y) - y3=1 => x3- y3 -3xy =1
b) 1.(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8) = (x-y)(x+y)......................=(x2-y2)(x2+y2)..........=(x4-y4)(x4+y4)......=(x8-y8)(x8+y8) =x16-y16
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(2^x;2^y;2^z\right)\)\(\left(a,b,c>0\right)\)\(\Rightarrow\)\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{2^{x+y+z}}=3\sqrt[3]{2^6}=12\)
bđt đề bài \(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3+c^3\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Dễ dàng chứng minh bđt trên với bđt phụ \(a^3-4a^2\ge16a-64\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-4\right)^2\left(a+4\right)\ge0\) luon dung
\(\Rightarrow\)\(a^3+b^3+c^3\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)+16\left(a+b+c\right)-192\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\)
theo đề bài ta có (x+y)^2>=1
2(x^2+y^2)>=(x+y)^2>=1
x^2+y^2>=1/2
(x^2+y^2)^2>=1/4
2(x^4+y^4)>=(x^2+y^2)^2>=1/4
x^4+y^4>=1/8(đề bạn ghi thiếu thì phải)
Đề của bạn thiếu dấu bằng.
Ta có:
\(xy=\frac{4xy}{4}\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1/2
Let \(\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\) we need prove:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1\\a^4+b^4+c^4\ge abc\\a,b,c\ne0\end{matrix}\right.\)
By AM-GM we have: \(\left\{{}\begin{matrix}a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4b^4}=2a^2b^2\\b^4+c^4\ge2\sqrt{b^4c^4}=2b^2c^2\\c^4+a^4\ge2\sqrt{c^4a^4}=2c^2a^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\left(1\right)\)
By AM-GM we have:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge b^2\cdot2\sqrt{a^2c^2}=2b^2ac\\b^2c^2+c^2a^2=c^2\left(b^2+a^2\right)\ge c^2\cdot2\sqrt{b^2a^2}=2c^2ab\\c^2a^2+a^2b^2=a^2\left(b^2+c^2\right)\ge a^2\cdot2\sqrt{b^2c^2}=2a^2bc\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge b^2ac+c^2ab+a^2bc\)
\(=abc\left(a+b+c\right)=abc\left(a+b+c=1\right)\left(2\right)\)
From \((1);(2)\) we are done !!
dễ Cm được x² +y² ≥ (x+y)²/2
<=> x² +y² ≥ 1/2(x² +y²) + xy
<=> 1/2(x² +y²) -xy ≥ 0
<=> 1/2(x-y)² ≥ 0 ( luôn đúng )
vậy x² + y² ≥ (x+y)²/2 = 1/2
tương tự thì
x^4 + y^4 ≥ (x² +y²)²/2 ≥ (1/2)²/2 = 1/8
vậy x^4 + y^4 ≥ 1/8
dấu = xảy ra <=> x=y=1/2