Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
# Bài 1
* Ta cm BĐT sau \(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\) (1) bằng cách biến đổi tương đương
* Với \(x,y>0\) áp dụng (1) ta có
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{y}\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)^2\)
Mà \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)^2\le1\) \(\Leftrightarrow\) \(0< \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\le1\) (I)
* Ta cm BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) với \(a,b>0\) (2)
Áp dụng (2) với x , y > 0 ta có
\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\ge\dfrac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\) (II)
* Từ (I) và (II) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\le1\)
\(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge4\)
Dấu "=" xra khi \(x=y=4\)
Vậy min \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\) khi \(x=y=4\)
Bài 2. Áp dụng BĐT Cauchy dưới dạng Engel , ta có :
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}\) ≥ \(\dfrac{\left(1+4+9\right)^2}{x+y+z}=196\)
⇒ \(P_{MIN}=196."="\) ⇔ \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
\(C=\left(x+\dfrac{1}{y}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{2x}{y}+y^2+\dfrac{2y}{x}+\dfrac{1}{x^2}=x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)=4+\dfrac{x^2+y^2}{x^2y^2}+2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)=4+\dfrac{4}{x^2y^2}+2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)
Áp dụng bđt cosi cho hai số dương:
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}\Rightarrow x^2y^2\le\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{4}=\dfrac{4^2}{4}=4\)
\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}}=2\)
Vậy \(C\ge4+\dfrac{4}{4}+2.2=4+1+4=9\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=y^2\\x^2+y^2=4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x^2=y^2=2\Leftrightarrow x=y=\sqrt{2}\)
Vậy GTNN của C là 9