Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).
Phải là giá trị nhỏ nhất nha bạn
Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel
\(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{z+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(y+z\right)+\left(z+x\right)+\left(x+y\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y+z}=\frac{y}{z+x}=\frac{z}{x+y}\\x+y+z=2\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge x\)
\(\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\ge y\)
\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{2}=1\)
\(S=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)\)
\(S\ge2\sqrt{\dfrac{x}{4x}}+2\sqrt{\dfrac{2y}{2y}}+\dfrac{1}{2}.3=\dfrac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz Engel, ta được:
T\(\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\)+x+y+z+\(\sqrt{xy}\)+\(\sqrt{yz}\)+\(\sqrt{zx}\)-(x+y+z+\(\sqrt{xy}\)+\(\sqrt{yz}\)+\(\sqrt{zx}\))
Áp dụng BĐT AM-GM , ta được:
T\(\ge\)2(x+y+z)-x-y-z-\(\frac{x+y+z}{2}\)=\(\frac{x+y+z}{2}\)\(\ge\)\(\frac{2019}{2}\)
Vậy: GTNN của A=\(\frac{2019}{2}\)khi x=y=z=673
\(T>=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}\)(bunhiacopxki dạng phân thức)
=>\(T>=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}}\)
=>\(T>=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{4\left(x+yz\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2019}{2}\)
xảy ra dấu= khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{2019}{3}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta được:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x\)
\(\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\ge2\sqrt{\frac{y^2}{z+x}.\frac{z+x}{4}}=y\)
\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{z^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=z\)
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được
\(A+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
Cách 2:Dù dài hơn Lê Tài Bảo Châu
\(\frac{x^2}{y+z}+x=\frac{x^2+x\left(y+z\right)}{y+z}=\left(x+y+z\right)\cdot\frac{x}{y+z}\)
\(\frac{y^2}{z+x}+y=\left(x+y+z\right)\cdot\frac{y}{z+x};\frac{z^2}{x+y}+z=\left(x+y+z\right)\cdot\frac{z}{x+y}\)
Suy ra \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}+\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\)
Đến đây thay x+y+z=2 và BĐT netbitt là ra ( chứng minh netbitt nha )
Cách 3:
\(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Ờ thì AM-GM (là Cô si ko âm đây)
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}\cdot\frac{y+z}{4}}=2\cdot\frac{x}{2}=x\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(P+\frac{2\left(x+y+z\right)}{4}\ge x+y+z\Leftrightarrow P\ge1\)
ĐẲng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :
\(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
Vậy \(P_{min}=1\) tại \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
\(A=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}=\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
Theo bđt cô si : \(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\) và \(y+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{y\cdot\frac{1}{y}}=2\)
Theo bđt Bunhiacopxkia dạng phân thức : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1^2}{x}+\frac{1^2}{y}=\frac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\frac{4}{x+y}\ge\frac{4}{2}=2\)
Cộng vế theo vế 3 bđt trên ta có : \(A\ge2+2+2=6\)
Dấu = xảy ra khi : x=y=1
co \(A=2\left(x+\frac{1}{x}\right)+2\left(y+\frac{1}{y}\right)-2\left(x+y\right)..\)
ap dung bdt co- si cho 2 so duong: \(a+b\ge2\sqrt{ab}.\)dau = khi a=b ta co
\(A\ge2.2\sqrt{x.\frac{1}{x}}+2.2\sqrt{y.\frac{1}{y}}-2.2\)
\(\Leftrightarrow A\ge4+4-4=4.\)
dau = xay ra khi a=b=2:1=1.
kl