Question

[ngô đăng khôi]

cho x,y thuộc Z, chứng minh rằng:

N=(x-y)(x-2y)(x-3y)(x-4y)+y⁴ là số chính phương

help me!:((

Answer 1

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

N = ( x - y )( x - 2y )( x - 3y )( x - 4y ) + y⁴

= [ ( x - y )( x - 4y ) ][ ( x - 2y )( x - 3y ) ] + y⁴

= ( x² - 5xy + 4y² )( x² - 5xy + 6y² ) + y⁴

Đặt t = x² - 5xy + 5y²

N = ( t - y² )( t + y² ) + y⁴

    = t² - y⁴ + y⁴

    = t² = ( x² - 5xy + 5y² )²

Vì x, y thuộc Z => x² thuộc Z ; -5xy thuộc Z ; 5y² thuộc Z

=> ( x² - 5xy + 5y² )² là một số chính phương

=> đpcm

Answer 2

[Nobi Nobita]

\(N=\left(x-y\right)\left(x-2y\right)\left(x-3y\right)\left(x-4y\right)+y^4\)

\(=\left(x-y\right)\left(x-4y\right)\left(x-2y\right)\left(x-3y\right)+y^4\)

\(=\left(x^2-5xy+4y^2\right)\left(x^2-5xy+6y^2\right)+y^4\)

Đặt \(x^2-5xy+5y^2=t\)

\(\Rightarrow\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4=t^2-y^4+y^4=t^2\)

\(=\left(x^2-5xy+5y^2\right)^2\)

Vì \(x,y\inℤ\)\(\Rightarrow\left(x^2-5xy+5y^2\right)^2\)là số chính phương

hay \(N=\left(x-y\right)\left(x-2y\right)\left(x-3y\right)\left(x-4y\right)+y^4\)là số chính phương ( đpcm )