Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{1+\sqrt{xy}}+\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{1-\sqrt{xy}}\right):\left(\dfrac{x+y+2xy}{1-xy}+1\right)\)
Điều kiện : \(xy\ge0\) hoặc \(xy\le0\) ; \(xy\ne1\); \(x\ge0\);\(y\ge0\)
\(P=\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{xy}\right)+\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)}{\left(1+\sqrt{xy}\right)\left(1-\sqrt{xy}\right)}\right):\left(\dfrac{x+2xy+y+1-xy}{1-xy}\right)\)
\(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}-x\sqrt{y}-\sqrt{y}+y\sqrt{x}+\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{1-xy}\right):\left(\dfrac{x+xy+y+1}{1-xy}\right)\)
\(P=\left(\dfrac{2\sqrt{x}+2y\sqrt{x}}{1-xy}\right):\left(\dfrac{x\left(1+y\right)+\left(y+1\right)}{1-xy}\right)\)
\(P=\left(\dfrac{2\sqrt{x}\left(1+y\right)}{1-xy}\right):\left(\dfrac{\left(1+y\right)\left(x+1\right)}{1-xy}\right)\)
\(P=\dfrac{2\sqrt{x}\left(1+y\right)}{1-xy}.\dfrac{1-xy}{\left(1+y\right)\left(x+1\right)}\)
\(P=\dfrac{2\sqrt{x}}{x+1}\)
b) ta có :\(x=\dfrac{2}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=\dfrac{4-2\sqrt{3}}{4-3}=3-2\sqrt{3}+1=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\)
thay \(x=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\) vào biểu thức P
ta được : \(P=\dfrac{2\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}{\left(\sqrt{3}-1\right)^2+1}\)
\(P=\dfrac{2\left|\sqrt{3}-1\right|}{4-2\sqrt{3}+1}=\dfrac{2\sqrt{3}-2}{5-2\sqrt{3}}\)
\(P=\dfrac{\left(2\sqrt{3}-2\right)\left(5+2\sqrt{3}\right)}{\left(5-2\sqrt{3}\right)\left(5+2\sqrt{3}\right)}=\dfrac{10\sqrt{3}+12-10-4\sqrt{3}}{25-12}\)
\(P=\dfrac{6\sqrt{3}+2}{13}\)
c) để P\(\le\)1 thì \(\dfrac{2\sqrt{x}}{x+1}\le1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2\sqrt{x}}{x+1}-1\le0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2\sqrt{x}-x-1}{x+1}\le0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{-\left(x-2\sqrt{x}+1\right)}{x+1}\le0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{-\left(x-1\right)^2}{x+1}\le0\)
Vì \(-\left(x-1\right)^2\le0\) nên x + 1 \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) x \(\ge\) -1
đúng thì cho xin 1 like nha
Áp dụng BĐT AM-GM, Ta có
\(\sqrt{x-1}\le\dfrac{1+x-1}{2}=\dfrac{x}{2}\Rightarrow yz\sqrt{x-1}\le\dfrac{xyz}{2}\)
Mà \(xz\sqrt{y-2}\le\dfrac{xz\sqrt{2\left(y-2\right)}}{\sqrt{2}}\le\dfrac{xyz}{2\sqrt{2}}\)
\(yx\sqrt{z-3}\le yx.\dfrac{3+z-3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{xyz}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{xy\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+yz\sqrt{z-3}}{xyz}\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)
\(a.\)
\(\text{*)}\) Áp dụng bđt \(AM-GM\) cho hai số thực dương \(x,y,\) ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\) (do \(xy=1\) )
\(\Rightarrow\) \(3\left(x+y\right)\ge6\)
nên \(D=x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+3\left(x+y\right)\ge x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+6\)
\(\Rightarrow\) \(D\ge\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]+5\)
\(\text{*)}\) Tiếp tục áp dụng bđt \(AM-GM\) cho bộ số loại hai số không âm gồm \(\left(x^2+y^2+1;\frac{9}{x^2+y^2+1}\right),\) ta có:
\(\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]\ge2\sqrt{\left(x^2+y^2+1\right).\frac{9}{\left(x^2+y^2+1\right)}}=6\)
Do đó, \(D\ge6+5=11\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y=1\)
Vậy, \(D_{min}=11\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=1\)
\(b.\) Bạn tìm điểm rơi rồi báo lại đây
1) \(x^2+y=y^2+x\Leftrightarrow x^2-y^2-\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=x\\y=1-x\end{cases}}\). Vì x,y là hai số khác nhau nên ta loại trường hợp x = y. Vậy ta có y = x-1.
\(P=\frac{x^2+\left(1-x\right)^2+x\left(1-x\right)}{x\left(1-x\right)-1}=\frac{x^2+x^2-2x+1-x^2+x}{-x^2+x-1}\)
\(=\frac{x^2-x+1}{-\left(x^2-x+1\right)}=-1\)
Thắng nên hạn chế dùng kiến thức lớp trên để giải bài lớp dưới vì thầy giáo sẽ không chấp nhận cách giải đo.
Từ bước \(P=\frac{t^2-t-3}{t^2+t+1}\) mình đề xuất sử dụng tam thức để giải
\(\Rightarrow t^2\left(P-1\right)+t\left(P+1\right)+P+3=0\)
Để PT có nghiệm thì
\(\Delta=\left(P+1\right)^2-4\left(P-1\right)\left(P+3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3P^2-6P+13\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{-4\sqrt{3}-3}{3}\le P\le\frac{4\sqrt{3}-3}{3}\)
*)Với \(y=0\) ta dễ thấy ĐPCM
*)Với \(y=0\) thì:
Đặt \(P=\frac{x^2-xy-3y^2}{x^2+xy+y^2}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{x}{y}-3}{\left(\frac{x}{y}\right)^2+\frac{x}{y}+1}\)
Đặt \(t=\frac{x}{y}\) thì \(P=\frac{t^2-t-3}{t^2+t+1}\).Xét \(f\left(t\right)=\frac{t^2-t-3}{t^2+t+1}\)
\(f'\left(t\right)=\frac{2\left(t^2+4y+1\right)}{\left(t^2+t+1\right)^2};f'\left(t\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=-2-\sqrt{3}\\t=-2+\sqrt{3}\end{cases}}\)
Dựa vào bảng biến thiên: Max\(f\left(t\right)=f\left(-2-\sqrt{3}\right)=\frac{4\sqrt{3}-3}{3}\)
Min\(f\left(t\right)=f\left(-2+\sqrt{3}\right)=\frac{-4\sqrt{3}-3}{3}\)
Suy ra \(\frac{-4\sqrt{3}-3}{3}\le P\le\frac{4\sqrt{3}-3}{3}\)
\(\frac{-4\sqrt{3}-3}{3}\le\frac{x^2-xy-3y^2}{x^2+xy+y^2}\le\frac{4\sqrt{3}-3}{3}\)
Lại có: \(x^2+xy+y^2\le3\) nên \(-4\sqrt{3}-3\le x^2-xy-3y^2\le4\sqrt{3}-3\)