Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cách khác. Không dùng điều kiện đề bài cho luôn.
\(Q=3x^2+3xy+y^2=\left(3x^2+3xy+\dfrac{3y^2}{4}\right)+\dfrac{y^2}{4}\)
\(=3\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{y^2}{4}\ge0\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=0\)
Từ đề bài thì: \(x+y\ge0\)
\(\Rightarrow y\ge-x\)
Ta có:
\(Q=3x^2+3xy+y^2=\left(x+y\right)^2+2x^2+xy\)
\(\ge2x^2+xy\ge2x^2-x^2\)
\(=x^2\ge0\)
Vậy GTNN là Q = 0 đạt được khi \(x=y=0\)
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
\(8\ge x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow x+y\ge4\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y=2
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
\(A\ge\frac{4}{x+y}\ge\frac{4}{4}=1\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y=2
Hình như anh kudo shinichi ngược dấu một xíu thì phải ạ: \(8\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow\left(x+y\right)\le4\) chứ ạ?Dẫn đến
khúc sau ngược dấu.Nếu em sai thì xin thông ảm cho ạ. Lời giải của em đây:
\(A\ge\frac{4}{x+y}=\frac{16}{4x+4y}\ge\frac{16}{x^2+4+y^2+4}\) (BĐT Cô si hay AM-GM gì đó: \(x^2+4\ge2\sqrt{x^2.4}=2.2.x=4x;...\))
\(=\frac{16}{8+8}=1\).Dấu "=" xảy ra khi x = y = 2.
Vậy min A = 1 khi x =y = 2
nếu qua hạn nộp cô chưa chữa cho bn mình sẽ giúp :) giờ quá bận :)
ápdụng bdt bunhia dạng phân thức ta có
M=\(\frac{1}{1+x}\)+\(\frac{1}{1+y}\)≥\(\frac{\left(1+1\right)^2}{1+x+1+y}\)=\(\frac{4}{2+x+y}\)
áp dụng bđt bunhia dạng đa thức ta có
(x+y)2≤(1+1)(x2+y2)=2(x2+y2)≤2.2=4
⇒x+y≤2
⇒M≥\(\frac{4}{2+2}\)=1 vậy GTNN M =1 khi x=y=1
\(a.\)
\(\text{*)}\) Áp dụng bđt \(AM-GM\) cho hai số thực dương \(x,y,\) ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\) (do \(xy=1\) )
\(\Rightarrow\) \(3\left(x+y\right)\ge6\)
nên \(D=x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+3\left(x+y\right)\ge x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+6\)
\(\Rightarrow\) \(D\ge\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]+5\)
\(\text{*)}\) Tiếp tục áp dụng bđt \(AM-GM\) cho bộ số loại hai số không âm gồm \(\left(x^2+y^2+1;\frac{9}{x^2+y^2+1}\right),\) ta có:
\(\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]\ge2\sqrt{\left(x^2+y^2+1\right).\frac{9}{\left(x^2+y^2+1\right)}}=6\)
Do đó, \(D\ge6+5=11\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y=1\)
Vậy, \(D_{min}=11\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=1\)
\(b.\) Bạn tìm điểm rơi rồi báo lại đây
Ta có : \(A=x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(A=4+\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+\frac{2.\left(x^2+y^2\right)}{xy}=4+\frac{4}{x^2y^2}+\frac{8}{xy}\)
\(A=4\left(\frac{1}{xy}+1\right)^2\)
Mặt khác : \(xy\le\frac{x^2+y^2}{2}=2\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge4\left(\frac{1}{2}+1\right)^2=9\)
Vậy Min A = 9 khi x = y = \(\sqrt{2}\)
\(A\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\frac{9}{x+y+z}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}+\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}+\frac{27}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(A\ge3\sqrt[3]{\frac{81\left(x+y+z\right)^2}{3.64\left(x+y+z\right)\left(x+y+z\right)}}+\frac{27}{4.\frac{3}{2}}=\frac{27}{4}\)
\(A_{min}=\frac{27}{4}\) khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Sai đề rồi nha bạn! Điều kiện: \(x^2+y^3\ge x^3+y^4\)
Sử dụng bất đẳng thức \(C-S,\) ta có:
\(\left(x^3+y^3\right)^2=\left(x\sqrt{x}.x\sqrt{x}+y^2.y\right)^2\le\left(x^3+y^4\right)\left(x^3+y^2\right)\le\left(x^2+y^3\right)\left(x^3+y^2\right)\)
\(\le\left(\frac{x^2+y^3+x^3+y^2}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\) \(x^3+y^3\le\frac{x^2+y^3+x^3+y^2}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(x^3+y^3\le x^2+y^2\) \(\left(1\right)\)
Lại có: \(\left(x^2+y^2\right)^2=\left(x\sqrt{x}.\sqrt{x}+y\sqrt{y}.\sqrt{y}\right)^2\le\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)\le\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\) \(x^2+y^2\le x+y\) \(\left(2\right)\)
Mặt khác, từ \(\left(2\right)\) với lưu ý rằng \(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\) \(\left(i\right)\)và \(x,y\in R^+\) , ta thu được:
\(x^2+y^2\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\) \(\Leftrightarrow\) \(x^2+y^2\le2\) \(\left(3\right)\)
nên do đó, \(\left(i\right)\) suy ra \(x+y\le\sqrt{2.2}=2\) \(\left(4\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\) và \(\left(4\right)\) ta có đpcm