Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow c=\frac{ab}{a+b}\)
\(a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2-2ab+\frac{a^2b^2}{\left(a+b\right)^2}=\frac{\left(a+b\right)^4-2ab\left(a+b\right)^2+a^2b^2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(=\frac{\left[\left(a+b\right)^2-ab\right]^2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\left|\frac{\left(a+b\right)^2-ab}{a+b}\right|\) là số hữu tỉ.
Ta có:
\(2x^2+x=3y^2+y\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-y\right)\left(2x+2y+1\right)=y^2\)
Gọi \(d\) là \(ƯCLN\left(x-y,2x+2y+1\right)\) (với \(d\in N^{\text{*}}\)). Khi đó, ta suy ra
\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)\leftrightarrow\left(1\right)\\\left(2x+2y+1\right)\leftrightarrow\left(2\right)\end{cases}}\) chia hết cho \(d\) \(\Rightarrow\) \(\left(x-y\right)\left(2x+2y+1\right)\) chia hết cho \(d^2\)
Hay \(y^2\) chia hết cho \(d^2\) tức là \(y\) chia hết cho \(d\)
Nhưng vì \(x-y\) chia hết cho \(d\) (theo \(\left(1\right)\)) nên \(x\) cũng phải chia hết cho \(d\)
\(\Rightarrow\) \(2x+2y\) chia hết cho \(d\) \(\left(3\right)\)
Từ \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) suy ra \(1\) chia hết cho \(d\)
Do đó, \(d=1\) đồng nghĩa với việc \(\left(x-y,2x+2y+1\right)=1\)
Vậy, phân số \(\frac{x-y}{2x+2y+1}\) tối giản vì cùng nguyên tố cùng nhau
Áp dụng AM-GM ta có \(\frac{1^2}{x}+\frac{1^2}{x}+\frac{1^2}{y}+\frac{1^2}{z}\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{2x+y+z}\)
hay \(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{16}{2x+y+z}\)
Tương tự : \(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{16}{2y+x+z}\) ; \(\frac{2}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{16}{2z+x+y}\)
Cộng theo vế : \(4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge16\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+x+z}+\frac{1}{2z+x+y}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(16\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+x+z}+\frac{1}{2z+x+y}\right)\le16\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+x+z}+\frac{1}{2z+x+y}\le1\)