Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Với mọi số thực ta luôn có:
`(x-y)^2>=0`
`<=>x^2-2xy+y^2>=0`
`<=>x^2+y^2>=2xy`
`<=>(x+y)^2>=4xy`
`<=>(x+y)^2>=16`
`<=>x+y>=4(đpcm)`
\(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}=\dfrac{x+3+y+3}{\left(x+3\right)\left(y+3\right)}\)
\(=\dfrac{x+y+6}{3x+3y+13}\)(vì \(xy=4\))
=> \(\dfrac{x+y+6}{3x+3y+13}\)≤\(\dfrac{2}{5}\)
<=> \(5\left(x+y+6\right)\)≤\(2\left(3x+3y+13\right)\)
<=>\(6x+6y+26-5x-5y-30\)≥\(0\)
<=> \(x+y-4\)≥\(0\)
Áp dụng BĐT AM-GM \(\dfrac{a+b}{2}\)≥\(\sqrt{ab}\)
Ta có \(\dfrac{x+y}{2}\)≥\(\sqrt{xy}\)
<=>\(x+y\) ≥ 2\(\sqrt{xy}\)
=>2\(\sqrt{xy}-4\)≥\(0\)
<=> \(4-4\)≥0
<=>0≥0 ( Luôn đúng )
Vậy \(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}\)≤\(\dfrac{2}{5}\)
\(VT=\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{4}{x+y}\right)=\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{16}{\left(z+x+y\right)^2}\ge16\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)\)
ta có \(\frac{1}{x^2+x}+\frac{x^2+x}{4}>=2\cdot\sqrt{\frac{1\cdot\left(x^2+x\right)}{\left(x^2+x\right)\cdot4}}=1\)
tương tự => \(\frac{1}{y^2+y}+\frac{y^2+y}{4}>=1;\frac{1}{z^2+z}+\frac{z^2+z}{4}>=1\)
=> VT >= 3-(\(\frac{x^2+x}{4}+\frac{y^2+y}{4}+\frac{z^2+z}{4}\))=3-\(\frac{x^2+y^2+z^2+3}{4}\)
mà \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{4}>=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4+4+4}=\frac{3}{4}\)
=> P>= 3-3/4-3/4=3/2
Dấu bằng khi x=y=z=1
Bài bạn Lương Ngọc Anh bị ngược dấu nên sai hoàn toàn. Lời giải:
Ta có:
\(\frac{1}{x^2+x}=\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)
Tương tự, ta được:
\(VT=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng BĐT Schwarz:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\le\frac{1}{4}\left(3+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Do đó:
\(VT\ge\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\frac{3}{4}\left(1\right)\)
Mặt khác:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}=3\left(2\right)\)
TỪ (1) VÀ (2) TA CÓ ĐIỀU PHẢI CHỨNG MINH.
Áp dụng BĐ Svac-xơ, ta có
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\left(ĐPCM\right)\)
^_^
Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)(bđt cosi)
=> \(\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge4\) <=> \(\left(x+y\right)^2\ge16\) <=> \(x+y\ge4\)
CM bđt tương đương: \(\frac{1}{x+3}+\frac{1}{y+3}\le\frac{2}{5}\)
<=> \(\frac{5\left(x+3\right)+5\left(y+3\right)}{\left(y+3\right)\left(y+3\right)}\le2\)
<=> \(2\left(xy+3x+3y+9\right)\ge5x+5y+30\)
<=> \(2.4+6\left(x+y\right)+18-5\left(x+y\right)-30\ge0\)
<=> \(x+y-4\ge0\) (vì x + y \(\ge\)4)
<=> \(4-4\ge0\) (Luôn đúng)
=> ĐPCM
\(taco:\)
\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{2}.\frac{x+1}{4}}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{y\left(y+1\right)}.\frac{y}{2}.\frac{y+1}{4}}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{z\left(z+1\right)}.\frac{z}{2}.\frac{z+1}{4}}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z+3}{4}\ge\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{2}\left(dpcm\right)\)
^^
Mình giải lại bài này cho đầy đủ hơn nhé: (nãy chỉ là hướng dẫn thôi)
Ta sẽ c/m: \(\frac{1}{x^2+x}\ge-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}\) (1).Thật vậy,xét hiệu hai vế,ta có:
\(VT-VP=\frac{\left(3x+4\right)\left(x-1\right)^2}{4\left(x^2+x\right)}\ge0\)
Suy ra \(VT\ge VP\).Vậy (1) đúng.
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế,ta có:
\(VT\ge-\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{5}{4}.3=\frac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Ta có \(VT=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\)
Lại có \(x^2\left(1-x^2\right)^2=\frac{2x^2\left(1-x^2\right)\left(1-x^2\right)}{2}\le\frac{\left(2x^2+1-x^2+1-x^2\right)^3}{54}=\frac{4}{27}\)
\(\Leftrightarrow\) \(x\left(1-x^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{x\left(1-x^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{x}{\left(1-x^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\) (1)
Tương tự cho \(\frac{y}{\left(1-y^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2\) (2) và \(\frac{z}{\left(1-z^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\) (3)
Cộng vế theo vế ta được \(VT=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Áp dụng BĐT : ( a + b + c )2 \(\ge\)3 ( ab + bc + ac )
Ta có : \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}\ge\frac{3\left(xy+y+x\right)}{xy+y+x}=3\)
đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}=A\)
ta có : \(A+\frac{1}{A}=\frac{8A}{9}+\frac{A}{9}+\frac{1}{A}\ge\frac{8.3}{9}+2\sqrt{\frac{A}{9}.\frac{1}{A}}=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\)
Ta có \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)=> \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
Áp dụng ta được
\(\left(x+y+1\right)^2\ge3\left(x+y+xy\right)\)=> \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}\ge3\)
Đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{x+y+xy}=t\)(\(t\ge3\))
Khi đó
\(VT=t+\frac{1}{t}=\left(\frac{t}{9}+\frac{1}{t}\right)+\frac{8}{9}t\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}t=3\\x=y=1\end{cases}}\)=> x=y=1
Lưu ý
Nhiều người sẽ nhầm \(VT\ge2\)
Khi đó dấu bằng \(\left(x+y+1\right)^2=xy+x+y\)không xảy ra
theo cô- si ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}=\frac{2}{\sqrt{xy}};x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{\frac{x+y}{2}}=\frac{4}{x+y}\Rightarrow dpcm\)
*) \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) (1)
*) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}}\) (2)
Nhân (1), (2) với nhau, ta có:
\(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(đpcm)
Dành cho những bạn cần !!!