Question

[là ta thành]

.Cho x,y > 0 và x^2 + y^2 = 1

Tìm GTNN của \(A=-\frac{2xy}{1+xy}\)

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Do x,y > 0 nên ta xét \(\frac{1}{A}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2xy}\)

Áp dụng bđt Cauchy ta có \(2xy\le x^2+y^2\Rightarrow\frac{1}{2xy}\ge\frac{1}{x^2+y^2}\Rightarrow-\frac{1}{2xy}\le-\frac{1}{x^2+y^2}\)

Từ đó suy ra \(\frac{1}{A}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2xy}\le-\frac{1}{2}-\frac{1}{x^2+y^2}=-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow A\ge-\frac{2}{3}\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\) (x,y>0)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng \(-\frac{2}{3}\) khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)