HA
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
5
4 tháng 8 2018
Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)
\(\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}=\dfrac{y^3}{y\sqrt{1-y^2}}\ge\dfrac{y^3}{\dfrac{y^2+1-y^2}{2}}=2y^3\)
\(\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}=\dfrac{z^3}{z\sqrt{1-z^2}}\ge\dfrac{z^3}{\dfrac{z^2+1-z^2}{2}}=2z^3\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)
5 tháng 8 2017
b2 \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}=\sqrt{x}.\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{y}.\)\(\sqrt{y}.\sqrt{1-\frac{1}{y}}+\sqrt{z}.\sqrt{1-\frac{1}{z}}\)rồi dung bunhia là xong
AN
5 tháng 8 2017
A= \(\frac{1}{a^3}\)+ \(\frac{1}{b^3}\)+ \(\frac{1}{c^3}\)+ \(\frac{ab^2}{c^3}\)+ \(\frac{bc^2}{a^3}\)+ \(\frac{ca^2}{b^3}\)
Svacxo:
3 cái đầu >= \(\frac{9}{a^3+b^3+c^3}\)
3 cái sau >= \(\frac{\left(\sqrt{a}b+\sqrt{c}b+\sqrt{a}c\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)
Cô-si: cái tử bỏ bình phương >= 3\(\sqrt{abc}\)
=> cái tử >= 9abc= 9 vì abc=1
Còn lại tự làm
24 tháng 10 2017
Gọi \(\overrightarrow{1a}=\left(x;\frac{1}{x}\right);\overrightarrow{b}=\left(y;\frac{1}{y}\right);\overrightarrow{c}=\left(z;\frac{1}{z}\right)\)
Ta có:
\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}=\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|+\left|\overrightarrow{c}\right|\)
\(\ge\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)\(\ge\sqrt{1^2+\frac{9^2}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(=\sqrt{1+81}=\sqrt{82}\)
24 tháng 10 2017
Áp dụng BDT MInkopki
VT\(\ge\)\(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}=\sqrt{82}\)
BDT minkopki
\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{e^2+f^2}\ge\sqrt{\left(a+c+e\right)^2+\left(b+d+f\right)^2}\)
15 tháng 6 2018
\(=\left(\left(\sqrt{x}\right)^2+2\cdot\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)\left(\left(\sqrt{y}\right)^2+2\cdot\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)\)
\(=\left(\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)\left(\left(\sqrt{y}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)\)
\(\sqrt{x}>=0\Rightarrow\sqrt{x}+\frac{1}{2}>=\frac{1}{2}\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2>=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1\left(1\right)\)
\(\sqrt{y}>=0\Rightarrow\sqrt{y}+\frac{1}{2}>=\frac{1}{2}\Rightarrow\left(\sqrt{y}+\frac{1}{2}\right)^2>=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{y}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1\left(2\right)\)
từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\left(\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)\left(\left(\sqrt{y}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)>=1\)
\(\Rightarrow\left(x+\sqrt{x^2}+1\right)\left(y+\sqrt{y^2}+1\right)>=1\cdot1=1\)
dấu = xảy ra khi \(x=y=0\)
mà theo giả thiết \(\left(x+\sqrt{x^2}+1\right)\left(y+\sqrt{y^2}+1\right)=1\Rightarrow x=y=0\)
\(\Rightarrow x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}=0\sqrt{y^2+1}+0\sqrt{x^2+1}=0+0=0\)
15 tháng 6 2018
hình như đề phải là \(\left(x+\sqrt{x}+1\right)\left(y+\sqrt{y}+1\right)\)mới đúng
LT
0
TK
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 9 2020
\(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le\frac{1}{2}\left(x^2+1-y^2\right)+\frac{1}{2}\left(y^2+1-x^2\right)=1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{1-y^2}\\y=\sqrt{1-x^2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2+y^2=1\)
NT
1
ML
3 tháng 8 2016
Áp dụng bđt \(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge\left(ac+bd\right)^2\)
Dấu bằng xảy ra khi \(ad=bc\)
\(x\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-x^2}.y\le\left|x\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-x^2}.y\right|\le\sqrt{x^2+1-x^2}.\sqrt{1-y^2+y^2}=1\)
Dấu bằng xảy ra khi \(xy=\sqrt{1-x^2}.\sqrt{1-y^2}\Leftrightarrow x^2y^2=x^2y^2+1-\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=1\)
áp dụng BĐT bunhiacopxki ,ta có :
\(\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1-y^2+1-x^2\right)\)
↔\(1\le\left(x^2+y^2\right)\left(2-\left(x^2+y^2\right)\right)\)
đặt \(x^2+y^2=t\left(t\ge0\right)\),ta có:
\(t\left(2-t\right)\ge1\leftrightarrow t^2-2t+1\ge0\leftrightarrow\left(t-1\right)^2\ge0\)
dấu '=' xảy ra khi t=1 hay \(x^2+y^2=1\)