Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Vũ Sơn Tùng - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
VẬy bạn giải ra cho mọi người xem được ko?
Lớn hơn hoặc bằng kí hiệu trong Latex là \geq nha!
Lời giải:
Từ \(x+y+z=xyz\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\)
Đặt \((\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c})=(x,y,z)\), trong đó $a,b,c>0$ thì ta có:
\(ab+bc+ac=1\) và cần phải CMR:
\(P=\frac{\sqrt{(\frac{1}{b^2}+1)(\frac{1}{c^2}+1})-\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{c^2}+1}}{\frac{1}{bc}}+\frac{\sqrt{(\frac{1}{c^2}+1)(\frac{1}{a^2}+1})-\sqrt{\frac{1}{c^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}}{\frac{1}{ac}}+\frac{\sqrt{(\frac{1}{a^2}+1)(\frac{1}{b^2}+1})-\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}}{\frac{1}{ab}}\)
-----------------------------------------------
Ta có:
\(\frac{\sqrt{(\frac{1}{b^2}+1)(\frac{1}{c^2}+1})-\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{c^2}+1}}{\frac{1}{bc}}=\sqrt{(b^2+1)(c^2+1)}-b\sqrt{c^2+1}-c\sqrt{b^2+1}\)
\(=\sqrt{(b^2+ab+bc+ac)(c^2+ac+bc+ab)}-b\sqrt{c^2+ac+bc+ab}-c\sqrt{b^2+ab+bc+ac}\)
\(=\sqrt{(b+a)(b+c)(c+a)(c+b)}-b\sqrt{(c+a)(c+b)}-c\sqrt{(b+a)(b+c)}\)
\(=(b+c)\sqrt{(a+b)(a+c)}-b\sqrt{(c+a)(c+b)}-c\sqrt{(b+a)(b+c)}(1)\)
Tương tự:
\(\frac{\sqrt{(\frac{1}{c^2}+1)(\frac{1}{a^2}+1})-\sqrt{\frac{1}{c^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}}{\frac{1}{ac}}=(a+c)\sqrt{(b+a)(b+c)}-a\sqrt{(c+a)(c+b)}-c\sqrt{(a+b)(a+c)}(2)\)
\(\frac{\sqrt{(\frac{1}{a^2}+1)(\frac{1}{b^2}+1})-\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}}{\frac{1}{ab}}=(a+b)\sqrt{(c+a)(c+b)}-b\sqrt{(a+b)(a+c)}-a\sqrt{(b+c)(b+a)}(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow P=(b+c-c-b)\sqrt{(a+b)(a+c)}+(a+c-c-a)\sqrt{(b+a)(b+c)}+(a+b-b-a)\sqrt{(c+a)(c+b)}\)
\(=0\)
Ta có đpcm.
Ta có \(1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
Tương tự \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
\(1+z^2=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
Thay vào A ta được
\(P=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)
=2(xy+xz+yz)=2
\(b,VT=VP\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{xy+yz+zx+x^2}+\frac{y}{xy+yz+zx+y^2}+\frac{z}{xy+yz+zx+z^2}\)
\(=\frac{2xyz}{\sqrt{\left(xy+yz+zx+x^2\right)\left(xy+yz+zx+y^2\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{z}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)
\(=\frac{2xyz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(y+x\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(\Leftrightarrow xy+xz+xy+yz+xz+yz=2xyz\)
\(\Leftrightarrow2=2xyz\)
\(\Leftrightarrow xyz=1\)
Đù =)))
\(=\left(\left(\sqrt{x}\right)^2+2\cdot\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)\left(\left(\sqrt{y}\right)^2+2\cdot\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)\)
\(=\left(\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)\left(\left(\sqrt{y}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)\)
\(\sqrt{x}>=0\Rightarrow\sqrt{x}+\frac{1}{2}>=\frac{1}{2}\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2>=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1\left(1\right)\)
\(\sqrt{y}>=0\Rightarrow\sqrt{y}+\frac{1}{2}>=\frac{1}{2}\Rightarrow\left(\sqrt{y}+\frac{1}{2}\right)^2>=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{y}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1\left(2\right)\)
từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\left(\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)\left(\left(\sqrt{y}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)>=1\)
\(\Rightarrow\left(x+\sqrt{x^2}+1\right)\left(y+\sqrt{y^2}+1\right)>=1\cdot1=1\)
dấu = xảy ra khi \(x=y=0\)
mà theo giả thiết \(\left(x+\sqrt{x^2}+1\right)\left(y+\sqrt{y^2}+1\right)=1\Rightarrow x=y=0\)
\(\Rightarrow x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}=0\sqrt{y^2+1}+0\sqrt{x^2+1}=0+0=0\)
hình như đề phải là \(\left(x+\sqrt{x}+1\right)\left(y+\sqrt{y}+1\right)\)mới đúng