Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
mk nhớ lm bài tương tự thế này r` bn chịu khó mở ra xem lại ở đây olm.vn/?g=page.display.showtrack&id=424601&limit=260, ấn vào chữ Trang tiếp theo để tìm thêm nhé
Ta có:
\(\left[x+\sqrt{\left(x+2010\right)}\right].\left[\sqrt{\left(x+2010\right)-x}\right]=2010\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(x-2010\right)-x}=\sqrt{\left(x+2010\right)+y}\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(y+2010\right)-y}=\sqrt{\left(x+2010\right)+x}\left(2\right)\)
Công 2 vé lại với nhau, ta có:
\(\Rightarrow\sqrt{\left(x+2010\right)}+\sqrt{\left(y+2010\right)}-x-y=\sqrt{\left(x+2010\right)}+\sqrt{\left(y+2010\right)}+x+y\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)=0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3=0\)
(x-√(x^2+2010).(x+√(x^2+2010)).(y+√(y^2+... = 2010.(x-√(x^2+2010)
<=> -2010.(y+√(y^2+2010) = 2010.(x-√(x^2+2010)
<=> - (y+√(y^2+2010) = (x-√(x^2+2010)
<=> (x-√(x^2+2010) = - (y+√(y^2+2010)
+++ (x+√(x^2+2010)) (y+√(y^2+2010))(y-√(y^2+2010)) = 2010.(y-√(y^2+2010))
<=> -2010.(x+√(x^2+2010) = 2010.(y-√(y^2+2010))
<=> - (x+√(x^2+2010) = (y-√(y^2+2010) (**)
...Lấy (*) - (**) vế theo vế,ta có:
2x = -2y
<=> x + y = 0
E hổng biết cách này có đúng ko nữa:((
5
Ta có:\(S=\frac{2010}{x}+\frac{1}{2010y}+\frac{1010}{1005}\ge2\sqrt{\frac{2010}{x}\cdot\frac{1}{2010y}}+\frac{1010}{1005}\left(AM-GM\right)\)
\(=\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{2010}{1005}\ge\frac{2}{\frac{x+y}{2}}+2=4\)( AM-GM ngược dấu )
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{2010}{4024}\)
\(\frac{x+\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)^2}{y+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2}=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2-y+\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)^2}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2-x+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)+\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)^2}{\left(2\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)\left(2\sqrt{x}+2\sqrt{y}-2\sqrt{z}\right)}{\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(2\sqrt{x}+2\sqrt{y}-2\sqrt{z}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{z}}{\sqrt{y}-\sqrt{z}}\)
Đặt \(a=2010\).
\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+a}\right)\left(y+\sqrt{y^2+a}\right)=a\)(*)
Nhân cả 2 vế của (*) cho \(\sqrt{x^2+a}-x\), ta có:
\(\left(x+\sqrt{x^2+a}\right)\left(\sqrt{x^2+a}-x\right)\left(y+\sqrt{y^2+a}\right)=a\left(\sqrt{x^2+a}-x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+a-x^2\right)\left(y+\sqrt{y^2+a}\right)=a\left(\sqrt{x^2+a}-x\right)\)
\(\Leftrightarrow a\left(y+\sqrt{y^2+a}\right)=a\left(\sqrt{x^2+a}-x\right)\)
\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+a}=\sqrt{x^2+a}-x\) (1)
Tương tự tiếp tục nhân (*) cho \(\sqrt{y^2+a}-y\), ta có:
\(x+\sqrt{x^2+a}=\sqrt{y^2+a}-y\) (2)
Cộng 2 vế (1) và (2), ta được:
\(S=y+\sqrt{y^2+a}+x+\sqrt{x^2+a}=\sqrt{x^2+a}-x+\sqrt{y^2+a}-y\)
\(S=y+x+x+y=\sqrt{x^2+a}+\sqrt{y^2+a}-\sqrt{y^2+a}-\sqrt{x^2+a}\)
\(S=2x+2y=0\)
\(S=x+y=0\)
a) ĐK: \(x\ge2;y\ge-2009;z\ge2010\)
Ta có: \(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+2009}+\sqrt{z-2010}=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
<=> \(2\sqrt{x-2}+2\sqrt{y+2009}+2\sqrt{z-2010}=x+y+z\)
<=> \(\left(x-2+2\sqrt{x-2}+1\right)+\left(y+2009-2\sqrt{y+2009}+1\right)\)
\(+\left(z-2010-2\sqrt{z-2010}+1\right)=0\)
<=> \(\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y+2009}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2010}+1\right)^2=0\)
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}-1=0\\\sqrt{y+2009}-1=0\\\sqrt{z-2010}-1=0\end{matrix}\right.\) => \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}=1\\\sqrt{y+2009}=1\\\sqrt{z-2010}=1\end{matrix}\right.\)
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x-2=1\\y+2009=1\\z-2010=1\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-2008\\z=2011\end{matrix}\right.\) (TM)
Vậy ...................................................
Áp dụng BĐT Cô - si ngược dấu :
\(\sqrt{x-2010}=\frac{1}{2}\sqrt{4\left(x-2010\right)}\le\frac{4+\left(x-2010\right)}{4}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x-2010}-1\le\frac{4+\left(x-2010\right)}{4}-1=\frac{x-2010}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x-2010}-1}{x-2010}\le\frac{1}{4}\)
Hoàn toàn tương tự với những phân thức còn lại
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x-2010}-1}{x-2010}+\frac{\sqrt{y-2011}-1}{y-2011}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x-2010=4\\x-2011=4\\z-2012=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2014\\y=2015\\z=2016\end{cases}}}\)
Tính giá trị M=x2+y2