EC
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
CM
0
19 tháng 12 2021
Cho \(xy=1\)và \(x,y>0\)
Tìm \(M_{max}=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}\)
\(M=\frac{x}{x^4+\frac{1}{x^2}}+\frac{x}{y^2+\frac{1}{y^2}}\)
\(M=\frac{x^4}{x^6+1}+\frac{y^3}{y^6+1}\)
Áp dụng BĐT Cauchy
\(x^6+1\ge2x^3=>\frac{x^2}{x^6+1}\le\frac{1}{2}\)
Tương tự \(\frac{y^3}{y^6+1}\le\frac{1}{2}\)
\(=>M\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}xy=1\\x=1\\y=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=1\)
Vậy \(M_{max}=1\)khi \(x=y=1\)
HT
0
8 tháng 9 2019
Bằng bước biến đổi \(P=\frac{\left(x+y\right)^2+xy}{\sqrt{xy}.\left(x+y\right)}\)ta có cách giải sau
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM,ta có: \(P=\frac{\left(x+y\right)^2+xy}{\sqrt{xy}.\left(x+y\right)}\ge\frac{2\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}\left(x+y\right)}=2\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 đạt được khi \(\left(x+y\right)^2=xy\Leftrightarrow x^2+xy+y^2=0\)
Cơ mà nếu vậy thì P không có giá trị nhỏ nhất à, hay là em làm sai
T
9 tháng 9 2019
Đổi tên biểu thức thành M cho nó đỡ nhầm lẫn với cách phần đặt biến phụ nha!
Biểu thức đối xứng 2 biến x, y là em nghĩ đến cách đặt \(S=x+y;P=xy\Rightarrow S^2\ge4P\).(đẳng thức xảy ra khi x = y)
Có: \(M=\frac{S^2+P}{S\sqrt{P}}=\frac{S}{\sqrt{P}}+\frac{\sqrt{P}}{S}\). Đặt \(t=\frac{S}{\sqrt{P}}=\sqrt{\frac{S^2}{P}}\ge\sqrt{\frac{4P}{P}}=2\). Quy về tìm min biểu thức:
\(M=t+\frac{1}{t}\left(t\ge2\right)\). Đến đây có 2 cách:
+) Cách 1: \(t+\frac{1}{t}=\frac{t}{4}+\frac{1}{t}+\frac{3t}{4}\ge2\sqrt{\frac{t}{4}.\frac{1}{t}}+\frac{3.2}{4}=\frac{5}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi ... (anh tự giải nhá:3)
+) Cách 2: \(t+\frac{1}{t}=t+\frac{4}{t}-\frac{3}{t}\ge2\sqrt{t.\frac{4}{t}}-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)
Vậy...
BA
0
NM
1
20 tháng 3 2020
Ta có: \(x \geqslant xy+1 \Rightarrow x-1 \geqslant xy\)
\( P = \dfrac{{3xy}}{{{x^2} + {y^2}}} = \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)y + 3y}}{{{x^2} + {y^2}}}\\ \le \dfrac{{3x{y^2} + 3y}}{{2xy}} = \dfrac{{3y\left( {x + 3} \right)}}{{2xy}}\\ = \dfrac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{2x}} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{{2x}} \le 2.\dfrac{3}{2} = 3\\ \Rightarrow {P_{\max }} = 3 \)
Nếu \(xy\le0\Rightarrow M\le0;\) nếu \(xy>0\Rightarrow M>0\Rightarrow\) GTLN nếu có của M sẽ xảy ra khi \(xy>0\)
Xét \(xy>0\Rightarrow xy+1>0\Rightarrow x>0\Rightarrow y>0\)
\(x\ge xy+1\Leftrightarrow1\ge y+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}}\Rightarrow\frac{y}{x}\le\frac{1}{4}\) \(\Rightarrow\frac{x}{y}\ge4\)
\(M=\frac{3xy}{x^2+y^2}=\frac{3}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}=\frac{3}{\frac{15}{16}.\frac{x}{y}+\frac{x}{16y}+\frac{y}{x}}\le\frac{3}{\frac{15}{16}.4+2\sqrt{\frac{xy}{16yx}}}=\frac{12}{17}\)
\(\Rightarrow M_{max}=\frac{12}{17}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)