TT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
25 tháng 5 2019
Áp dụng BĐT : ( a + b + c )2 \(\ge\)3 ( ab + bc + ac )
Ta có : \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}\ge\frac{3\left(xy+y+x\right)}{xy+y+x}=3\)
đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}=A\)
ta có : \(A+\frac{1}{A}=\frac{8A}{9}+\frac{A}{9}+\frac{1}{A}\ge\frac{8.3}{9}+2\sqrt{\frac{A}{9}.\frac{1}{A}}=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\)
25 tháng 5 2019
Ta có \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)=> \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
Áp dụng ta được
\(\left(x+y+1\right)^2\ge3\left(x+y+xy\right)\)=> \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}\ge3\)
Đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{x+y+xy}=t\)(\(t\ge3\))
Khi đó
\(VT=t+\frac{1}{t}=\left(\frac{t}{9}+\frac{1}{t}\right)+\frac{8}{9}t\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}t=3\\x=y=1\end{cases}}\)=> x=y=1
Lưu ý
Nhiều người sẽ nhầm \(VT\ge2\)
Khi đó dấu bằng \(\left(x+y+1\right)^2=xy+x+y\)không xảy ra
1 tháng 10 2017
Xét các biểu thức :
\(x^3+y^3+z^3=x^3+y^3+\left(-x-y\right)^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-\left(x+y\right)\left(x^2+2xy+y^2\right)\)
\(=\left(x+y\right)\left(-3xy\right)=-3xy.\left(-z\right)=3xyz\)
\(x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+\left(-x-y\right)^2=2\left(x^2+y^2+xy\right)\)
Do đó VT có giá trị là \(5.\left(3xyz\right).2\left(x^2+y^2+xy\right)=30xyz\left(x^2+y^2+xy\right)\)
Xét VP:
\(x^5+y^5+z^5=\left(x^5+y^5\right)+\left(-x-y\right)^5\)
\(=x^5+y^5-\left(x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5\right)\)
\(=-5xy\left(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3\right)\)
\(=-5xy.\left[\left(x+y\right)^3-xy\left(x+y\right)\right]\)
\(=-5xy\left(x+y\right)\left(x^2+2xy+y^2-xy\right)\)
\(=5xyz\left(x^2+xy+y^2\right)\)
Do đó VP là \(30xyz\left(x^2+y^2+xy\right)\)
Suy ra điều phải chứng minh.
VH
4 tháng 8 2019
\(VT=\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3\)
\(=\left(x+y+z-x\right)^3+3\left(x+y+z\right)x\left(x+y+z-x\right)-\left(y^3+z^3\right)\)
\(=\left(y+z\right)^3+3\left(x+y+z\right)x\left(y+z\right)-\left(y+z\right)\left(y^2-yz+z^2\right)\)
\(=\left(y+z\right)\left(y^2+2yz+z^2+3x^2+3xy+3xz-y^2+yz-z^2\right)\)
\(=\left(y+z\right)\left(3yz+3x^2+3xy+3xz\right)\)
\(=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=VP\left(\text{ĐPCM}\right)\)
3 tháng 9 2018
\(VT=\left(x+y+z\right)^3-x^2-y^3-z^3\)
\(=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)-x^3-y^3-z^3\)
\(=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=VP\)
=> đpcm
=.= hok tốt!!
3 tháng 9 2018
Đặt: \(A=\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Xét: \(\left(x+y+z\right)^3=\left[\left(x+y\right)+z\right]^3=\left(x+y\right)^3+z^3+3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\)
\(=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+z^3+3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x^3+y^3+z^3\right)+3\left(x+y\right)\left(xy+xz+yz+z^2\right)\)
\(=\left(x^3+y^3+z^3\right)+3\left(x+y\right)\left[\left(xy+yz\right)+\left(xz+z^2\right)\right]\)
\(=\left(x^3+y^3+z^3\right)+3\left(x+y\right)\left[y\left(x+z\right)+z\left(x+z\right)\right]\)
\(=\left(x^3+y^3+z^3\right)+3\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
=> ĐPCM
PN
3 tháng 11 2015
a. Do \(x=y-1\Rightarrow x-y=1\)
Ta có:
\(A=x^3-y^3-3xy=\left(x-y\right)^3+3xy\left(x-y\right)-3xy=1^3+3xy.1-3xy=1\left(đpcm\right)\)
b. \(B=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\left(x^4+y^4\right)\left(x^8+y^8\right)\)
(Do \(x-y=1\))
(Bạn áp dụng hằng đẳng thức \(x^2-y^2=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\)vào bài toán)
Kết quả, \(B=x^{16}-y^{16}\left(đpcm\right)\)
3 tháng 11 2015
a)\(x=y+1\Rightarrow x-y=1\Rightarrow\left(x-y\right)^3=1\)
Hay x3- 3xy(x-y) - y3=1 => x3- y3 -3xy =1
b) 1.(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8) = (x-y)(x+y)......................=(x2-y2)(x2+y2)..........=(x4-y4)(x4+y4)......=(x8-y8)(x8+y8) =x16-y16
9 tháng 8 2018
Câu a : Ta có : \(x^3+x^2z+y^2z-xyz+y^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3\right)+\left(x^2z+y^2z-xyz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+z\left(x^2-xy+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=0\) ( đpcm )
Câu b : \(VT=\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-a^3-b^3-c^3\)
\(=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=VP\)
Câu c : Ta có : \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=0\) ( đúng )
18 tháng 8 2019
a, Chứng minh \(x^3+y^3+z^3=\left(x+y\right)^3-3xy.\left(x+y\right)+z^3\)
Biến đổi vế phải thì ta phải suy ra điều phải chứng minh
b, Ta có: \(a+b+c=0\)thì
\(a^3+b^3+c^3==\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3=-c^3-3ab\left(-c\right)+c^3=3abc\)
( Vì \(a+b+c=0\)nên \(a+b=-c\))
Theo giả thuyết \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)
Khi đó \(A=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}\)
\(=\frac{xyz}{x^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{z^3}\)
\(=xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)\)
\(=xyz.\frac{3}{xyz}=3\)
NH
17 tháng 8 2019
a, \(\left(x+y+z\right)^2=\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)z+z^2\)\(=x^2+2xy+y^2+2zx+2zy+z^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\)(đpcm)
b, \(\left(x+y+z\right)^3=\left(\left(x+y\right)+z\right)^3=\left(x+y\right)^3+z^3+3\left(x+y\right)z\left(x+y+z\right)\)
\(=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+z^3+3\left(x+y\right)z\left(x+y+z\right)\)
\(=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(xy+z\left(x+y+z\right)\right)\)
\(=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(xy+zx+zy+z^2\right)\)
\(=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y\left(x+z\right)+z\left(x+z\right)\right)\)
\(=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)