G
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
19 tháng 12 2018
Ta có \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2018}\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{2018}\Leftrightarrow2018x+2018y=xy\Leftrightarrow xy-2018x-2018y=0\Leftrightarrow xy-2018x-2018y+2018^2=2018^2\Leftrightarrow x\left(y-2018\right)-2018\left(y-2018\right)=2018^2\Leftrightarrow\left(x-2018\right)\left(y-2018\right)=2018^2\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-2018\right)\left(y-2018\right)}=2018\Leftrightarrow2\sqrt{\left(x-2018\right)\left(y-2018\right)}=2.2018\Leftrightarrow x+y+2\sqrt{\left(x-2018\right)\left(y-2018\right)}=x+y+2.2018\Leftrightarrow x-2018+2\sqrt{\left(x-2018\right)\left(y-2018\right)}+y-2018=x+y\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2018}+\sqrt{y-2018}\right)^2=x+y\Leftrightarrow\sqrt{x-2018}+\sqrt{y-2018}=\sqrt{x+y}\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x-2018}+\sqrt{y-2018}}=1\Leftrightarrow P=1\)
Vậy nếu \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2018}\) thì \(P=1\)
PM
21 tháng 7 2018
# Bài 1
* Ta cm BĐT sau \(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\) (1) bằng cách biến đổi tương đương
* Với \(x,y>0\) áp dụng (1) ta có
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{y}\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)^2\)
Mà \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)^2\le1\) \(\Leftrightarrow\) \(0< \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\le1\) (I)
* Ta cm BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) với \(a,b>0\) (2)
Áp dụng (2) với x , y > 0 ta có
\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\ge\dfrac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\) (II)
* Từ (I) và (II) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\le1\)
\(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge4\)
Dấu "=" xra khi \(x=y=4\)
Vậy min \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\) khi \(x=y=4\)
13 tháng 7 2018
\(P=\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{x-1+1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)+1}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}-1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+2\)
Theo BĐT Cô - Si cho hai số không âm ta có :
\(\sqrt{x}-1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}-1\right)\times\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}-1\right)}}=2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}-1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+2\ge2+2=4\)
Vậy GTNN của P là 4 thì GTNN của \(\sqrt{P}\) sẽ là 2 .
Dấu \("="\) xảy ra khi \(\sqrt{x}-1=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\) ( Bạn tự giải ra nhé :3 )
16 tháng 7 2022
Bài 1:
a: \(A=\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(3\sqrt{x}+1\right)-3\sqrt{x}+1+8\sqrt{x}}{9x-1}\right):\dfrac{3\sqrt{x}+1-3\sqrt{x}+2}{3\sqrt{x}+1}\)
\(=\dfrac{3x+\sqrt{x}-3\sqrt{x}-1+5\sqrt{x}+1}{9x-1}:\dfrac{3}{3\sqrt{x}+1}\)
\(=\dfrac{3x+3\sqrt{x}}{9x-1}\cdot\dfrac{3\sqrt{x}+1}{3}=\dfrac{x+\sqrt{x}}{3\sqrt{x}-1}\)
b: \(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot\dfrac{\left(x-1\right)^2}{2}\)
\(=\dfrac{x-\sqrt{x}-2-x-\sqrt{x}+2}{1}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}\)
\(=-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\)
8 tháng 8 2018
Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
\(\sqrt{x}+\sqrt{x}+\dfrac{1}{x}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{x}.\sqrt{x}.\dfrac{1}{x}}=3\)
\(\sqrt{y}+\sqrt{y}+\dfrac{1}{y}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{y}.\sqrt{y}.\dfrac{1}{y}}=3\)
\(\Rightarrow2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge6\)
\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\)
\(\Rightarrow A_{Min}=2."="\Leftrightarrow x=y=1\)
\(P=\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}+2018=\dfrac{x-1+1}{\sqrt{x}-1}+2018\)
\(=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+2018=\sqrt{x}+1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+2018\)
\(=\left(\sqrt{x}-1\right)+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+2020\)
\(\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}-1\right).\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}}+2020\) (BĐT Cauchy)
\(=2022\) (Dấu "=" khi \(\sqrt{x}-1=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\Leftrightarrow x=4\) (tm))